张卫
常州市新北区龙虎塘中学
在初中阶段，我们经常用变换图形的方法来解决一些较难理解的问题，在一次数学的教学过程中我就遇到了这样的一件事：
【问题描述】
在九年级学习用一元二次方程解决实际问题的过程中，有一个经典的例题是教学过程中必教的．题目如下：
如图1，要在长32米，宽20米的长方形的绿化带中造两条宽均为x米且互相街垂直的道路．要求路造好后的绿化面积要保留 540 平方米，请问路的宽为多少？
在解决这一问题的过程中，教师与学生通过探究，发现可以通过将4 个阴影部分通过平移合并成一个矩形（如图2），这样我们就可以用比较简单的方法列出方程（20-x）（32-x）=540来解决这类问题．
在教学的过程中，我在想，应该可以用同样的思想方法来解决这样的问题：
如图3，要在长32米，宽20米的长方形的绿化带中造两条路的边缘AB、CD均为x米的道路（注意这里的x不是指道路的宽度，而是道路的边缘AB、CD的长度）．要求路造好后的绿化面积要保留 540 平方米，请问路的宽为多少？
如果我们用平移的方法把阴影部分合并成一个矩形，那么解决这个问题的方法与解决如图1的问题的方法不是一样了吗？于是我兴奋地开始用几何画板制作这个课件！在制作的过程中我突然发现不对劲了，各个阴影部分通过平移并没能拼成一个矩形！（如图4）这是为什么呢？是制作过程出了问题吗？我又重新细心地制作了一遍，问题依旧！这时我意识到可能解决这个问题的思路可能出了问题！我把这道目拿出来与其他数学老师一起进行了讨论，结果大多数老师也迷惑了，那问题会出在哪呢？
【问题分析】
既然课件的制作方面没有问题，那么问题就只会出现在问题的解决思路上，而此题出现的问题从课件上表现出来就是不能把四个阴影部分合成一个矩形！这是为什么呢？我又分析了一下课件，终于发现了问题所在——问题就出在图形中两条道路重叠的部分平行四边形EFGH的面积会随着道路的“倾斜程度”改变！（如图5）
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通过对几何画板制作的课件的分析，平行四边形EFGH的面积会随着道路道路的“倾斜程度”改变，而两条道路面积是不会改变的（分别是32x m2,20x m2）,其中有一部分是互相重叠的（也就是图中的平行四边形），当重叠面积的面积变化时，也就会引起四个阴影部分总面积的改变，所以当我们想把四个阴影部分通过平移的方法拼成一块时是不可能拼成一个矩形的．
【问题反思】
1、经过这样的分析，我明白了其中的道理，那么为什么如图1中当两条道路互相垂直时的问题可以用平移的方法解决呢？仔细想一想，其实很简单，因为当两条道路互相垂直时，重叠部分是一个正方形，当进行平移变换时，重叠部分的形状不变，这样的话，我们可以理解为相当于把两条道路向边缘平移，而平移后的阴影部分就成为一个矩形(如图6)．
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2、本题中我们想通过平移的方法来进行图形变化，那么我们在平移的过程中，每一部分的平移过程应该是“等价”的．比如：图7中保持部分①位置不变，部分②，③分别可以通过如图的箭头方向向左向上平移x个单位后与部分①进行拼接，而部分④则可以通过沿图中斜向的箭头方向平移后与部分①拼接，最终形成一个新的矩形．而部分④的平移可以分解成先向上平移x个单位，再向左平移平移x个单位后与部分①拼接．从数学的角度上来说，其实这就是向量的分解（如图8所示），两种方法是“等价”的．
当相交的两条道路的重叠部分不是正方形而是一个平行四边形时，这种“等价性” 就不存在了（如图9所示）．
由此我们可以是到一个结论，如图7的问题想用平移四个阴影将其拼成一个大矩形的方法来解决，就得满足部分④的平移过程得能够分解成先向上平移x个单位，再向左平移平移x个单位的情况就可以了，那么如图10的图形就可以用平移的方法解决．
3、 这道让许多老师都迷惑了的问题给了我深刻的启示，在进行严谨的科学探索时，我们千万不能仅凭自己的猜想或以往的经验行事，在研究这样的问题时我们要先问一下自己这样做有什么样的依据可以证明呢？如果不行，是不是可以找到反例可以来说明问题呢？在这一方面我们现在有优越的条件，可以用“几何画板”这样的软件来验证我们的猜想．最后，当我们的猜想有问题时是不是也可以深入地了解一下问题的所在，这样说不定我们能找到更多的问题或解决的方案，同时对知识框架的构建也是很有益的．
【问题评析】
在这次的研究过程中，我深刻体会到作为一名一线教育工作者要有严谨的治学之风，在处理一些“想当然”的问题时要经常问自己几个问题：（1）这样做的理论依据是什么？（2）可以说明这种方法合理性吗？（3）我们有事先实践过吗？只有当我们把这些问题能解决了，才能真正地在教学中去实践．在新时期的教育教学过程中，大家都体会到了创新的可贵之处，但同时我们也应该牢记我们是在教育教学这一特殊的环境之中，“创新”应当首先包含验证与实践的过程！
在这次的研究中，我们教研组的老师一起提出了不少可贵的思路，对于我解决这个问题起来了关键性的作用！正是大家的集思广益，能让我们的研究走得更远！每个教师都是集体中的一员，只有在集体中不断发挥自己的作用并依靠集体的力量，每个个体才能快速地成长起来，如这次奚老师提出的“向量”思想为解决这个问题提供了很好的思路！
最后，我们都应该有“质疑”的意识．“学起于思，思源于疑”，但是我们现在往往会说学生缺乏质疑的意识．这一方面与整个教育的方式有一定关系，但“质疑”意识的培养，教师更要先行一步！教师“质疑”意识缺失的根源在于教师自己往往固步自封，不敢也不想去质疑书本、质疑前人，缺乏问题意识．我们在埋怨学生的同时，是否也该反省一下自己的教学思想和行为？学生“质疑”意识不强，是否也沿袭了老师的观念与做法呢？许多教师没有自己的问题，都是“书云亦云”地在提问，教师的习惯意识使学生自然地很少质疑！
“为学患无疑，疑则有进，小疑则小进，大疑则大进．”这一次对遇到的实际问题的探索过程让我深深地体会到这句话的寓意，让我们在平时的教育教学过程中更勇于“质疑”一些，更多地鼓励学生们大胆“质疑”吧，我们的教学必将更加生机盎然！
2013-9-3
参考文献：
[1] 何克抗.信息技术与课程整合 [EB/OL]. http://www.jswl.cn/course/kczh/IT/IIS/llxx/d2.htm
[2] 中华人民共和国教育部制定．义务教育 数学课程标准 (2011年版) [S]．北京:北京师范大学出版社，2012
本文是江苏省中小学教学研究（2019）年度第（十三）期课题《分布式认知视角下合作学习策略优化的案例研究》2019JK13-L110 的研究成果．