杨苗苗
齐鲁工业大学（山东省科学院）数学与统计学院山东省济南市 250353
摘要
理工科数学公共基础课教学对培养工科人才数学思维发挥着不容小觑的作用。本文基于OBE理念，针对计算机专业学生，以《概率论与数理统计》中《几何概型》的教学为例，提出几点教学设计的思路及方法。
关键词：概率论与数理统计；OBE理念；教学设计
Abstract：The teaching of public basic course of science and engineering mathematics plays an important role in cultivating the mathematical thinking of engineering talents. Based on the concept of OBE, this paper puts forward several ideas and methods of teaching design for computer majors, taking the teaching of Geometry Probability Model in Probability Theory and Mathematical Statistics as an example.
Keywords：probability theory and mathematical statistics; the concept of OBE; teaching design
大学数学公共课的教学对本科人才数学思维的培养发挥着至关重要的作用。《概率论与数理统计》是理工科数学类公共基础课程，不仅要求学生建立正确的随机观念、能够运用概率统计知识解决实际问题，同时还应该要求学生能够将概率统计知识与自身专业相结合。因此，在教学过程中将知识点与学生所学专业关联起来，既能引起学生的兴趣和重视，又能发挥数学公共课对专业学习的助力作用。
一、大学数学公共课教学现状
1、目前高等学校的数学公共课教学，不论面向什么专业的学生，几乎是同一套教案，同一种设计。学生认为数学学习就是刷题，也不了解数学知识对专业学习有什么作用。在专业学习需要用到数学知识时也无法有效的联系。数学知识的学习与专业知识的学习是脱节的。我们应该针对不同专业的授课对象设计教学内容及教学活动，帮助学生将数学知识与专业知识有机联系起来，同时也能提高学生学习的兴趣。
2、目前高校数学课程的教师大多采用“定义—定理—证明—推论—例题”的套路授课，授课模式单一死板，教学设计毫无新意，学生认为学习数学是枯燥无味的。我们应该改善是教学范式陈旧不堪的现状。
3、大学数学公共课的考核方式在近年来进行改革后已经由原来的一考定终身转变为现在的过程化考核，即“平时作业+期中考试+期末考试”的形式。但这样的考核方式仍然是滞后的，单一的，也是学生被动接受的考核方式。我们希望创新考核方式让学生愿意主动被考核、被检验。
总的来说，大学数学公共课的教学是以课堂为主要教学空间，以教师讲授为主要的知识传输方式，以课本、PPT、板书为教学工具，以定义、定理、证明、推论、例题、练习为范式，以平时作业、期中和期末考试为评估手段。
二、OBE理念
成果导向教育(Outcome based education，简称OBE,亦称产出导向教育），作为一种先进的教育理念，于1981年由Spady等人提出后，很快得到重视与认可，并已成为美国、英国、加拿大等国家教育改革的主流理念。美国工程教育认证协会（A-BET）全面接受了OBE理念，并将其贯穿于工程教育认证标准的始终。
新工科时代对工程技术人才的培养提出了新的要求，紧扣新工科背景对本科人才的需求特点，OBE理念坚持以产出为导向，主要关注以下四个核心问题：
1、我们想让学生取得的学习成果是什么；
2、为什么要让学生取得这样的学习成果；
3、如何有效地帮助学生取得这些学习成果；
4、如何知道学生已经取得了这些学习成果。
只有明确产出导向，我们才能有针对性的培养学生。而目前高校数学公共课的教学设计陈旧刻板，这无助于提高学生的学习效果；数学知识与专业知识的脱离也不利于提高学生学习的兴趣；被动的考核方式更是不利于检验学生的学习效果、提高学生参与学习的意识。
三、基于OBE理念的教学设计案例
本文以面向计算机专业的数学类公共课《概率论与数理统计》中《几何概型》这一知识点的教学为例，探讨我们基于OBE理念设计的教学内容与教学活动。
（一）结合OBE理念所关注的核心问题“我们想让学生取得的学习成果是什么”，“为什么要让学生取得这样的学习成果”，我们为“几何概型”这一知识点设计了三个层次的教学目标：
1、知识目标：深刻理解和掌握几何概型的定义、法则和公式。牢记应用几何概型的条件和重要结论。
2、能力目标：能够根据模型、公式正确计算几何概型。在学习过程中积累数学活动经验，培养学生由浅入深的分析问题、解决问题的思维方式，锻炼学生质疑、独立思考的习惯与精神，帮助学生逐步建立正确的随机观念。能够自觉地运用所学知识去观察生活，通过建立数学模型，运用数学思想解决生活中的实际问题。
3、思政目标：本节课让同学们感受到概率知识在现实生活中的实际应用，提高学生利用理论知识解决实际问题的能力。了解我国数学家对圆周率的计算比西方早一千多年，提升学生文化自信；了解历史上很多科学家进行过投针试验，这反映了科学家们马克思主义哲学的实践观，正是这种精神推动了科学的进步。
（二）结合OBE理念所关注的核心问题“如何有效地帮助学生取得这些学习成果”，我们为“几何概型”这一知识点设计了如下课堂活动：
1、课程导入：播放投针试验的视频（见图1），介绍布丰投针试验的故事：
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图1 布丰投针试验视频截图
在1777年的一天，法国著名科学家布丰的家里宾客满堂，他们是应邀前来观看一场奇特的试验。
试验开始，年至古稀的布丰先生拿出一张纸，纸上画好了一条条等距离的平行线，接着他又拿出许多小针，小针的长度是平行线间距离的一半，然后布丰先生宣布：请大家把这些小针一根根的扔在纸上，并记录下小针是否与平行线相交。
试验之后，布丰先生宣布：诸位，我们共投针2212次，其中与平行线相交的有704次，总数与相交数的比值为π的近似值。
一时间全场哗然，这是怎么回事？投针试验跟圆周率有什么关系？
这个导入环节的设计意图在于利用视频引入新课，直观的视觉刺激吸引学生的学习兴趣。采用问题教学法，请同学们思考一个平行线和投针的试验跟圆周率有什么关系？引导学生带着问题学习新课。
2、“类比教学法”与“对比教学法”的运用：
一是在学习“几何概型”的定义时，要充分利用学生已有知识进行学习，即“古典概型”的定义。将“古典概型”与“几何概型”进行比较，引导学生自己归纳总结二者有什么异同，“几何概型”的应用需要注意什么。
二是在实践操练的环节，我们采用如下两例：
[例1] 车站每10分钟发一班车，求乘客到达车站后等车时间不超过3分钟的概率。
[例2] 甲乙两人相约在某段时间T内在预定地点会面。先到的人应等候另一人,经过时间t(t<T)后方可离开。求甲乙两人会面的概率,假定他们在时间T内的任一时刻到达预定地点是等可能的。
其中例1是一维空间例子，例2是二维空间例子。通过两个例子从一维到二维的进阶比较，使学生深刻体会到：
（1）“几何概型”中的度量是指一维空间中的长度，二维空间中的面积，三维空间中的体积；
（2）以及P(A)只与A的测度有关，与A的形状、位置无关；
（3）求几何概率的关键是对样本空间和所求事件A用图形描述清楚，然后计算出相关图形的度量。
一维空间的例子比较简单，通常教学不选用，但这里我们仍然选用了例1，这个例子占用两三分钟的时间，但却让学生更容易理解几何概型的应用，为例2这个经典的会面问题奠定了基础。
3、思政元素的巧妙渗透：回到本课最初的投针试验，将其转化为如下数学问题：
[例3] 布丰投针试验：平面上画有间隔为a (a>0) 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l (l<a) 的针，求针与任一平行线相交的概率。
该题可以设计雨课堂互动，由学生进行部分计算。最后说明根据频率的稳定性，当投针试验次数n很大时，投针与平行线相交次数m与n的比值，可作为P(A)的近似值根据上式可以计算出π的近似值。因此，布丰的结论是总数2212与相交数704的比值是π的近似值。
介绍历史上很多科学家进行过投针试验（见图2），这反映了科学家们马克思主义哲学的实践观，正是这种精神推动了科学的进步。
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图2 历史上做过投针试验的科学家及其试验结果
为了说明投针试验的意义，我们提到祖冲之对圆周率的估计，增强学生的民族自信：
说到圆周率的近似值就不得不说一说我国古代著名的数学家祖冲之——世界上第一位将圆周率值计算到小数点后第7位的科学家。祖冲之对圆周率的近似计算比西方早了一千多年。当然布丰投针试验是完全不借助任何几何知识，仅仅利用概率统计知识对圆周率进行的估计，它的意义不在于精确度有多高，而在于他是首次利用随机试验处理确定性数学问题。
4、知识拓展：在这个环节中，我们结合了学生所学的专业，这种结合是非常自然的，前面介绍了投针试验的意义在于他是首次利用随机试验处理确定性数学问题，而后来这种通过随机试验进行估计的方法就被发展成为现在的蒙特卡罗法。
（1）蒙特卡罗方法是计算机计算中的一个重要方法，其理论依据就是均匀分布的性质，其关键步骤就是产生[0,1]上均匀分布的随机数。这里所说的均匀分布我们将在第二章中学习，均匀分布是几何概型的概率模型，几何概型是均匀分布的实际背景。
（2）几何概型与均匀分布在现在计算技术中有着重要的应用，因为数字计算机字长有限，舍入误差分析在用计算机解题时很有必要，而在计算机的数值计算中，定点计算的舍入误差可以作为均匀分布的随机变量。
5、布置作业：本节课我们为学生布置了相应知识点与其专业相关的作业：
（1）一篇课外阅读《蒙特卡洛算法》，这个作业主要是帮助学生养成文献阅读的习惯，同时了解本课相关的计算机知识；
（2）同学们分组讨论如何编写程序模拟布丰投针试验，这个作业既是学生的专业知识对随机问题进行模拟，又加强了课下学生之间的交流与思维碰撞。
（三）创新考核方式
考核方式我们保持了目前很多高校都在使用的过程化考核方式，线上学习成绩、期末考试成绩、平时作业成绩、课堂表现成绩共同组成总评成绩。其中，课堂表现成绩由雨课堂自动形成；平时作业由智慧树平台记录；小组任务采用组间评价、组内评价与教师评价相结合，教师根据提交的成果，对组内按照不同学生的贡献加权给分。
需要指出的是，根据OBE理念所关注的核心问题“如何知道学生已经取得了这些学习成果”，既然我们不仅要达到知识目标，还要达到能力目标、思政目标，那么单一的考核形式就不能满足我们的考核要求；既然我们鼓励学生通过作业的形式发展他们的表达能力、协作能力以及动手能力，那么就应该强调学生课下的数学活动以及小组任务的评价占比。主要有以下两个方面：
1、将数学实验融入考核：大学没有数学实验课，大学生容易忽视计算机对数学问题的实现，随机问题适合用计算机进行模拟，在教学过程中加入计算机模拟的结果，更加直观，易于理解，课下鼓励学生动手借助计算机解决数学问题。而编程问题不仅是学生专业知识对数学学习的反馈，又提高了学生参与学习的兴趣。
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图3 学生提交的程序模拟随机事件
2、新媒体助力学生的参与式学习：鼓励学生将数学活动的过程、讨论任务的方案制作成PPT或者视频、动画发布到公众号，相互留言。这激励了学生主动参与学习、分享学习成果。
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图4 学生做投针试验发布视频号
四、教学效果和评价
我们选择了同为工科专业、教学计划、学时数完全一致的专业和学生进行比较。2020-2021学年第一学期，对齐鲁工业大学（山东省科学院）计算机科学专业共3个班级128名学生，就《概率论与数理统计》课程采用了本文提出的“参与式课上活动”与“多元化课下任务”的教学方案。使用同一学期机械专业共4个班202名学生同一门课程的总评成绩进行比较。
由图5可见，试点班的学生处于优秀和良好的比例明显高于普通班；同时，不及格学生占比明显低于普通班；试点班级平均分为68.97明显高于普通班61.15。这说明，本文提出的方法在实际教学中，能够明显提高高分学生占比，改善教学效果，降低不及格率，提高学生的学习积极性、参与度和运用知识的能力。
此外，试点班级的学生平教成绩为93分（优秀）。学生在评语中说道：“每次课前的预习，每次课后的打卡，您都尽心尽力的帮助我们”“课程导入、案例分析和思政元素相结合，精心设计的教学风格新颖独特”。反映出学生对课上内容的兴趣明显提高，对课下活动有助于学习是认可的。
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图5 不同成绩段学生占比
本课程被认定为齐鲁工业大学校级一流课程，受到学生及督导组的一致好评。2020年团队获批校级重点教研项目。近年来学生的《概率论与数理统计》成绩稳步提升。此外，我们将学生的数学活动视频发布公众号、视频号，两天时间达到七百多人次的观看。并且去年学习本课程的计算机专业学生又分享了他们新编写的程序，学生反映非常感兴趣。
五、结论
围绕OBE理念所关注的四个核心问题，我们针对学生的所学专业设计了教学目标、教学内容、学生活动和考核方式，能够有效提高学生的学习兴趣，完成学习目标，检验学习效果。笔者的教学团队始终坚持立德树人的根本，培养高素质的工科人才。
作者简介：
杨苗苗 1984.7 女 苗 山东省济南市 博士研究生 讲师 非线性泛函分析、偏微分方程
基金项目：
2020.12 齐鲁工业大学（山东省科学院） 基于学习科学视角的《概率论与数理统计》教学设计与实践探索 2020zd19