朱英萍
浙江省东阳中学，浙江省 东阳322100
内容摘要：如何让复习课脱离死板的教学，成为高效课堂？笔者尝试“问题链”教学这一新型的以学生为主体、教师为主导的教学模式，教师通过设计一问接一问、一环套一环的高质量“问题链”，适时地引领，学生在“问题链”的驱动下，就能自觉主动、积极互动地投入学习，从而形成课堂中激情有效的思维碰撞，让复习课大放异彩！
下面以《极化恒等式》教学为例，通过“问题链教学”，引导学生对书本例题进行探究式复习，挖掘向量数量积与线性运算的内在联系，继本身的定义和几何意义之外，从又一个新的角度认识和解决向量的数量积问题。我将整堂课的问题链大致分成了三个阶段进行串联：
阶段一：起点性问题探索
入口浅，学生很快可以做出解答：运用模平方运算展开，代入已知量即得。
问题2：从向量的几何意义出发如何解释已知量和所求量？
生：已知平行四边形邻边和夹角(以数量积给出），求对角线长。
问题3：回顾问题1的解答，是否可对题中的5个量中选三个作为条件，知三求二？
在肯定学生的做法后进一步提出：
问题4：可否由（1）式(2)式直接得到所求量与已知量的关系？
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利用此等式代入已知的三个量即可求得第四个量。
问题5：结合向量加减法的几何模型平行四边形，能否对此恒等式进行几何解释？
学生得出：平行四边形两条对角线长的平方和等于它四边长度的平方和（两条邻边平方和的两倍）。
从而自然顺畅地推得必修4书本P109例1的结论。
阶段二：自然生成公式问题探索
问题1：上述恒等式是通过对两个式子相加得到的，那么类比迁移，两个式子相减又可得到什么恒等式呢？
问题2：这个恒等式从代数运算的角度看对解决数量积问题有什么作用？
在肯定学生的回答后点出这个式子的亮点：可作为数量积的又一定义，与线性运算紧密地联系起来了，充分体现了转化与化归思想。这个恒等式也称极化恒等式。
由此引出本节课的课题：极化恒等式
问题3：若在平行四边形的背景下，此恒等式可对向量的数量积作出怎样的几何解释？
自然引出极化恒等式的平行四边形模式：向量的数量积表示以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”的平方差的
。
若将此恒等式进一步变形为
就变成了蕴含中点的图形问题，引导学生得出极化恒等式的三角形模式：
其几何解释为：数量积等于中线长的平方减去另一边一半的平方
极化恒等式的平行四边形模式和三角形模式，非常巧妙地建立起向量数量积与向量的线性运算结果的长度（数量）之间的联系，搭建起了代数与几何转换的桥梁，使不可度量的数量积关系转化为可度量、可计算的数量关系，具有化动（动点）为定（定点），化动（动态）为静（静态），化曲（曲线）为直（直线），化普通为特殊之功效，应用十分灵活，成为高考命题的创新热点。
设计意图：通过自然生成公式问题的探索，让极化恒等式从高深突兀到简单自然，大大引发了学生的学习热情。
阶段三.解决挑战性问题的探索
接下来师生一起体验极化恒等式在解决数量积问题中的妙用。
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让学生改编习题，巩固极化恒等式的几何形式特别是三角形模式的应用。
问题2：根据极化恒等式三角形模式的结构，对要求数量积的两个向量有什么要求？
总结：强调共起点的使用条件。
问题3：需要的已知量是什么？中线长和对边长。
点评：起点定对边定可求数量积的值。
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有公共对边，利用极化恒等式将未知数量积与已知数量积联系起来，达到解题的目的。观察解答过程也可看出极化恒等式本质上也是基底思想的体现，只是它能更快地加以表示。使学生体会到方法之间的相通性。
针对上一题是中线、对边一个动一个定可求数量积的最值或取值范围问题，接着再设计了一道起点动对边动探讨数量积的题目：
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由于向量坐标运算的引入，向量与代数的互换运算可以说是深入人心，对于向量与几何的联系略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾，把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致。
设计意图：通过解决挑战性问题的探索，设计层层递进、步步深入的一连串问题链，鼓励学生积极思考，引发学生的探究欲望，把学生的学习热情完全激发出来了。
所谓的“问题链”教学模式本质上就是一种启发式教学，在“问题链”的设计上通过创设问题情境提出有层次性、目标性、开放性、挑战性的问题，使学生的思维得到开发并不断向深层次发展，学生不仅掌握了知识，其数学素养也在问题解决中得到升华。“问题链”教学的精心设计可使复习课的教学环节之间转承自然，让学生在顺畅的学习过程中培养学习能力，拓宽思维的广度，增加思维的深度，同时也学会了如何利用教材去自主有效地复习并引申，在知识的运用上真正做到“源于教材，又高于教材”。
参考文献：
[J].福建教育 2016（37）：1
《科学大众教师版》2010年第03期