梁荣荣
杭州市萧山区第五高级中学
摘要：首先介绍GeoGebra软件的特点以及相比几何画板的优越性，再分别从新课教学和习题教学两个方面各选取三个典型案例介绍GeoGebra软件在其中的应用，相比于传统教学方式，可以发现利用GeoGebra软件进行教学有着直观、便捷、易于理解等诸多特点。
关键词：GeoGebra；物理教学；新课教学；习题教学
一、引入
1.GeoGebra软件介绍及特点
GeoGebra软件（以下简称GeoGebra）是跨平台的动态数学软件，可为数学和物理等多个学科提供辅助教学，它是由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授MarkusHohenwarter设计。该软件具有以下几个特点：（1）可免费用于学习、教学和考评；（2）功能强大、使用简单、交互性强；（3）支持多种语言，可覆盖世界上绝大多数人群；（4）以形象直观富有趣味的方式体验数学和科学；（5）可适于各种课程或项目；（6）在世界上有数百万人使用。
2.GeoGebra与几何画板的对比
相比于国内运用更为广泛的同类软件几何画板，具有如下优点：（1）几何画板为商业软件，单个软件售价达数百元，而GeoGebra从诞生之日起就一直开源免费，致力于让世界上每个学生老师都能享受到其所带来的便利；（2）几何画板基本只限于平面几何，解析几何能力不强。相比之下，GeoGebra除了能做平面绘图外，还能做3D绘图、概率统计、代数和符号运算、表格运算、微积分等；（3）几何画板只支持在电脑上运行，GeoGebra则支持跨平台使用，在电脑、平板、手机、网页上均能使用，体现了极大的交互性和便利性；（4）几何画板的操作基于尺规作图，涉及到复杂的作图，就会比较不便。GeoGebra则提供了更加丰富的途径，除了常规的尺规作图外，还能通过指令和脚本操作，操作方式多变且灵活。
二、GeoGebra在新课教学中的应用
在高中物理的新课教学中，部分内容过程抽象，思维难度较大，给学生的新课学习带来了一定困难，而新课学习中的困难又直接导致了后续学习的困难，从而使得部分同学对物理学习产生畏难情绪。针对上述问题，利用GeoGebra可以将复杂抽象的问题进行简化，破解教学上的难点，以下通过三个典型案例说明问题。
案例1：匀变速直线运动位移与时间关系的推导
匀变速直线运动中位移与时间关系的推导过程是教学中的一大难点，其中所涉及的极限思想对初学高中物理的同学来讲思维难度很大，教材中的处理是将时间间隔不断减小，不断逼近极限状态，教材中给出了四幅图。基于GeoGebra可以对上述教学过程进行如下优化：通过拖动事先设置好的滑动条，可使得v-t图下的矩形数目变化变得非常直观，矩形数目可以设置到任意数量，如图所示，矩形数目依次为5、10、25、100，在实际课堂教学中，通过拖动改变矩形数目的滑动条，学生们可以直观地看出，矩形面积之和不断逼近v-t图与坐标轴所围成面积，相当于将教材中的四幅图动态地展现出来，化抽象为形象，化繁难为简易。
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对于基础较好的同学，还可在上述分析的基础之上进一步向同学介绍微积分的基本思想，进一步提高其思维层次。
案例2：力的合成
力的合成是力学基本规律，其满足的平行四边形法则对于学生而言并不存在太大的难度，然而对其中一些细节的分析却存在一些难度。在一些教学参考资料上，以及在一些作业中，需要用到如下结论：两个力合成，两力同向时合力最大，两力反向时合力最小，两力夹角在0度到180度变化时，合力不断减小。
上述结论虽然不难理解，却缺乏有力证明，基于数学知识可知，要严格证明上述结论需要用到余弦定理，而对比高一数学及物理的教学进度会发现，物理学到力的合成时，数学还远未学到余弦定理。由于余弦定理的证明需要用到大量三角函数的知识，在物理课中也不可能给出严格证明，能够做的最多就是直接将余弦定理作为现成结论进行分析。更多的情况是，直接将其作为现成结论，而不给出证明，这很显然不符合物理教学的严谨和完整。
针对上述教学难点，利用GeoGebra可以非常简洁优雅地进行分析，在GeoGebra中可以将两力的夹角作为变量，可以通过软件自带的长度测量功能方便地看出在夹角增加的过程中，合力大小的变化规律。同时利用软件的函数绘制功能，还可以在坐标图中绘制合力与夹角间的函数图像，更为形象直观地看出两者关系。
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案例3：带点粒子在磁场中运动中的放缩圆模型
带电粒子在磁场中的运动历来是教学中的难点，磁场边界的不确定、入射粒子速度大小方向位置的不确定都使得问题分析几何要求变得很高，以其中的动态放缩圆模型为例，以往常规的教学方式主要有板书板画和PPT课件两种，这两种方式都无法展现完整的动态过程，对部分学生的学习产生了一定的障碍，而基于GeoGebra的分析，可将由半径增大带来的动态过程完整地展现出来，给初学该模型的学生降低了门槛，使之可以更好地对相关问题进行分析，在半径的连续增大过程中，可以轻松找出两个临界情况。
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三、GeoGebra在习题教学中的应用
在高中物理的习题教学中，部分习题过程较为复杂，通过板书板画很难让学生提取到所有有效信息，对老师的教学也是非常大的挑战。通过将GeoGebra应用到习题教学中，同样可以将复杂繁难的物理过程形象直观地展示出来，以下通过三个案例说明问题。
案例1：离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出．
Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线处的C点持续射出一定速率范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0＜α≤90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e。(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞)
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(1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
(2)为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按下图说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)；
(3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围；
(4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系．
该题为2014年浙江物理高考的最后一题，其中最后一问涉及到磁场圆边界和粒子运动圆轨迹内切的几何关系，该过程作图难度较大，同时几何关系复杂，在实际做题过程中，正确率非常低，原因在于无法正确画出轨迹，继而无法得到正确的几何关系，导致分析无从下手。基于GeoGebra同样可以将复杂的几何关系形象地展现出来，同时可以通过改变角度得到不同角度下的几何关系，从而让学生有更加直观清晰的体会。
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案例2：如图所示，x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，坐标原点处有一正离子源，单位时间在xoy平面内发射n0个速率均为v的离子，分布在y轴两侧各为θ的范围内。在x轴上放置长度为L的离子收集板，其右端点距坐标原点的距离为2L。当磁感应强度时，沿y走正方向入射的离子，恰好打在收集板的右端点。整个装置处于真空中，不计重力，不考虑离子间的碰撞，忽略离子间相互作用。
（1）求粒子的比荷
；
（2）如果发射的离子被收集板全部收集，求θ的最大值；
（3）假设离子到达x轴时沿x轴均匀分布。当
，磁感应强度在
的区间取不同值时。求单位时间内收集板收集到的离子数n与磁感强度B之间的关系。（不计粒子在磁场中的运动时间）
该题为2017年11月浙江省物理选考试题，其中第三问涉及到动态圆问题，具有多个临界情况，临界情况分析错误或者分析不完整均会导致失分，如何思路清晰地分析其动态过程继而得到相应的临界情况，是本题分析的重点。在GeoGebra软件中可以模拟粒子运动半径变化的动态过程，继而可以直观形象地获得临界情况。
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上述三幅图分别对应了初始状态，以及两个不同的临界情况，拖动半径大小相关的滑动条即可形象地展示动态过程。
案例3：如图所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q>0）和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0<y<2R的区间内。已知重力加速度大小为g。
（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求点场强度和磁感应强度的大小和方向。
（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由。
该题为2009年浙江高考物理题，其中所涉及的磁聚焦磁扩散模型在国内高考中是首次出现，该模型最早出现在第6届国际物理竞赛中，学生初次接触该特殊模型普遍会对其表示惊叹，该模型的证明方法较多，其中以平面几何证明思路最为简洁，在此基础上，结合GeoGebra的动态分析无疑可以强化教学效果，相比PPT课件，其动态过程更为完整且更有说服力。
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四、总结
通过上述分析及案例，可以看出，GeoGebra软件无论是在新课教学还是习题教学，均可将传统教学中的复杂繁难的情况变得形象直观，便于学生理解，限于篇幅，文中选取了四个案例进行说明，实际该软件的应用远不局限于此，期待大家可以有更加丰富的应用。值得说明的是，基于GeoGebra的教学，虽然可以使得复杂抽象的物理过程变得直观，但不能对其过度依赖，物理学习及考试，对学生的抽象思维有着较高的要求，所以笔者认为，GeoGebra在教学中的作用，就好像造房子的过程中“脚手架”的作用，作用在于降低学生的学习门槛，而不是最终目的。
参考文献：
[1]邓莹莹,闫慧娟,张计才.GeoGebra软件在中学物理教学中的应用[J].物理通报,2019(10).
[2]邬晨海.GeoGebra在物理教学中的应用[J].物理教师,2012,000(011):55-56.
[3]高长乐.GeoGebra在高中物理中的应用——立体表现简谐振动和机械波[J].中国多媒体与网络教学学报(电子版),2018,000(006):P.76-79.