任娟
陕西省榆林市靖边县第三中学
立体几何是高中数学的重要内容，是平面几何在空间上的发展和延伸，从平面到空间需要学生具备一定的空间想象能力和推理论证能力。立体几何是高考必考内容之一，其题型一般是一个解答题，2至3个填空题，解答题一般与多面体和旋转体相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，为了更好地服务于高考，学生需在平时的学习中不断提高自己的空间想象能力和推理论证能力，不断总结与思考。本文将对必修2立体几何的学习中，线线关系的证明方法与相关例题的解答做一个浅显的总结。
教学过程
1、线线平行
例1、如图，在三棱锥P-ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD平面QEF=GH
求证：AB∥GH
（学生在下面独立思考）
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生1：可以利用三线平行公里：证明两条直线AB，GH同时平行于第三条直线CD，即可得证。
证明：∵E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点
∴EF∥AB，CD∥AB
∴EF∥CD
又∵EF平面EFQ，CD平面EFQ
∴CD∥平面EFQ
又CD平面PCD，且平面PCD平面EFQ=GH
故CD∥GH，则AB∥GH。
师：这个题的证明过程中也用到了证明线面平行的证明方法，即平面外的一条直线若平行于平面内的一条直线，则平面外的直线平行于这个平面。
例2、如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH。
求证：AP∥GH
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生2：考虑到GH同时在另一个平面BDM中，要证明AP∥GH，可以尝试证明AP平行于GH所在的另一个平面BDM，而已知点M是PC的中点，AC与BD的交点O是AC的中点，故MO平行于AP（中位线定理），则AP平行于平面BDM，而GH=平面BDM平面APG，从而AP∥GH。
证明：连接AC交BD于点O，则点O为AC的中点，连接OM
∵点M是PC的中点
∴AP∥OM（中位线定理）
∵AP平面BDM
∴AP∥平面BDM
由题∵平面APG平面BDM=GH
∴AP∥GH
师：本题中我们证明线线平行是利用线面平行的性质定理，把证明线线平行转化为证明线面平行
例3、如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC。
求证：MN∥AD1
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生3：已知MN⊥平面A1DC,若能证明AD1则根据平行于同一平面的两条直线平行可证明。
证明：∵正方体ABCD-A1B1C1D1
∴AD1⊥A1D，DC⊥平面ADD1A1
又∵AD1平面ADD1A1
∴DC⊥AD1
∵A1DDC=D
∴AD1⊥平面A1DC
∵MN⊥平面A1DC
∴MN∥AD1
2、线线垂直
例4、如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F。
求证：（1）平面AEF⊥平面PBC
（2）PB⊥EF
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生4：证明两个平面垂直，需证明一个平面内的一条直线与另一个平面内的两条相交直线都垂直，由此，可根据题设找寻满足判定定理中条件的直线。
分析：由于AB是⊙O的直径，故∠ACB=90o，即AC⊥BC,而题中告诉PA⊥⊙O所在的平面，则PA⊥BC，进而得出BC⊥平面PAC，那么也就有BC⊥PC了，而题中给出AF⊥PC于F，即得证。
证明：（1）∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90o，即AC⊥BC
又∵PA⊥⊙O所在的平面，BC⊙O所在的平面
∴PA⊥BC
而PAAC=C,故BC⊥平面PAC，因而BC⊥AF
又∵AF⊥PC于F，PCBC=C
∴AF⊥平面PBC
而AF平面AEF，故平面AEF⊥平面PBC
（2）由于PB平面PBC，由（1）可知AF⊥PB
∵AE⊥PB于E，AEAF=A
∴PB⊥平面AEF
又∵EF平面AEF
∴PB⊥EF
师：线线垂直往往与线面垂直或面面垂直放在一起，进行综合考察，学生在做题中需要牢记空间几何中的各个判定定理及性质定理，在证明过程中灵活应用。
教学思考
证明线线平行总体有五种方法，除了以上例题中所用的三种常用方法外，还可以利用线线平行的定义：即共面且无公共点，或利用面面平行的性质定理：即将证两线平行转化为证面面平行的两种方法，当然，在具体证明过程中对具体的问题，我们还可以以算代证。在证明立体几何的问题中，通常是将立体问题平面化，即利用已知条件及定理、性质、法则等已知事实，以合情推理为先导，演绎推理不断整合完善，最终将空间问题转化为平面问题，实现条件与结论的沟通。
就如姜伯驹院士所说：“平面几何之招人恨，在于它能透视出思维的品质（包括洞察力和说服力），靠死记硬背不容易过关。”在日常教学中，老师们应当像章建跃博士提出的“理解数学、理解学生、理解教学”【1】那样，熟练掌握知识，准确确定教学目标与任务，从而准确解析教学任务中所蕴含的数学思想。理解学生，在教学中用学生的眼光对待数学教学，了解自己学生的学习能力、知识水平、思维能力，从而在教学中有的放矢。“一个真正的数学教师，必须怀有一种菩萨心肠，无私地热爱学生。”【2】
数学是思维的科学，数学教学是思维活动过程的教学，数学教学的根本目的是培养学生的思维，提高其思维品质。在数学教学中，老师们不仅要让学生清楚数学内容的形式演绎论证步骤，还要让学生知晓内容的直观背景和来龙去脉，通过对具体问题的分析，领悟出最基本、最本质、最一般的数学精神。【3】
参考文献：
【1】章建跃.理解数学 理解学生 理解教学[J]中国数学教育（高中版），2010.12.3-7.15
【2】中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.4
【3】郑良.对“立体几何中的向量方法”复习课的教学思考.数学通讯2016.6