郝蕾 林碧珍
（台湾清华大学 台湾地区 新竹 30014）
摘 要 本研究目的在于从“证明过程”比较两岸初中数学教科书提供给学生学习证明的机会。研究方法采用内容分析法，分析比较两个版本教科书几何单元的发展活动和练习活动。分析课本发展活动中的讲解题和应用题提供的“证明过程”类型，以及练习活动中的练习题中要求学生提供“证明过程”的类型探究学习几何证明的机会。研究结果发现：两个版本在讲解题证明过程多数以演绎示范的形式呈现，而练习题和应用题多数是以隐含方式呈现且仅要求学生达到非形式化演绎证明；两个版本的应用题均没有和操作性证明有关的类型。
关键字：内容分析法、证明过程、几何证明、教科书分析
壹·绪论
一、几何证明的重要性
数学证明具有阐释、沟通与确信的功能(Hanna, 2000)，证明是促进数学理解的重要工具(Miyakawa, 2012；NCTM, 1989；吕凤琳，2010)，由此可见数学证明对学生的数学学习十分重要，具有其研究价值；且研究表明证明主要在几何题材中学习，提供给学生证明的机会是最丰富的(Kunimune, Fujita, & Jones, 2010；Otten, Gilbertson, & ClarK, 2011)。因此证明的研究需要在几何部分中进行。
但其实学生在几何证明的表现并不好。例如，初中及以上的学生在几何的证明题中，当被要求证明一个数学命题时，他们过度依赖自己的经验或具体例子(Miyazaki, Fujita, & Jones, 2017)，而非演绎证明(Harel & Sowder, 2007)。Boero (1999)提到经验论证(Empirical Arguments)虽然在学生探究阶段起着重要的作用，但是最终还必须以演绎的形式对猜想的结果进行证明才行，可见学生演绎性证明的必要性。
教科书对学生数学的学习非常重要(McKnight et al., 1987; Stylianides, 2014)，影响着学习者发展证明的机会(Stylianides, 2014)，而证明又多数在几何中学习(Zhang & Qi, 2019)，国外已有相关的研究(如Otten, Gilbertson, Males, & Clark, 2014)。因此，需要去探讨教科书中几何性质定理发展活动中提供的证明过程，因为发展活动提供的示范对学生的启发十分重要，有一定比重的演绎证明的示范才能更好的培养学生演绎证明的思维，另外，练习活动也需要观察要求学生提供证明过程的类型，如果看不到要求演绎证明的类型，那么学生就无法得到更好的训练，自然演绎证明的能力就无法提升。因此可见证明过程对学生几何证明能力培养的重要性。
综合上述分析，本研究的目的是探讨初中数学教科书中对于几何性质定理证明的示范和应用的发展活动和要求学生自主练习的练习活动中，提供或要求学生提供的证明过程的表现。具体言之，本研究的研究问题为：两岸初中数学教科书发展活动和练习活动中证明过程在数量与比例上有何异同?
二、证明过程的教科书原分析架构
根据Otten 等(2014)的教科书分析架构如表1所示。
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此架构的教科书发展活动包含对性质定理的讲解的讲解题和对其应用的应用题；练习活动指的是学生自主练习的题目，包含与主张相关以及与证明相关的类型，与主张相关指的是题目的问题是和结论有关的，有可能要求建立猜想或者判断命题的真伪，与证明相关的指的是问题要求学生会要求学生进行说理或形式证明。
(一)发展活动
1. 演绎性证明：教科书提供了一个逻辑论证，建立在定义，假设，或以前确定的结果上，以支持或证明一个数学主张。例如要求证明三角形内角和180度。
2. 操作性证明：教科书要求用学生动手操作（例如折叠、测量等）得到的经验或者用一个具体的例子来证明一个数学主张。例如要求学生量出一个三角形三个角的度数并相加从而得到三角形内角和180度的定理。
3. 过去和未来：论证或证明可以在过去或未来的一节课中找到，或在教科书以外的地方找到（例如:可以在互联网找到）。
4. 留给学生证明：没有在教科书中提供证明，而是明确的告知学生将会被要求给出证明过程（例如:在接下来的习题集中会要求学生给出证明）。
5. 没有证明：对于教科书的讲解题部分没有给出证明，也没有明确的说明以后会给出证明过程。
(二)练习活动
1. 演绎性证明：题目明确要求使用演绎证明或者逻辑链的证明。
2. 操作性证明：题目明确要求用测量或明确的例子来证实。
3. 潜在的证明需求：题目要求学生参与证明活动，但是未明确规定要求形式证明，例如要求学生对给出的一个主张进行解释，或者求解出未知数的值。
由于东西方有文化上的差异，在两岸教科书的编排版面上不同，所以依据本研究的目的，教科书分析架构是依据上述的架构，进行些微的修改。修改如下：
教科书分为两种活动：课堂上给学生提供几何证明性质定理的讲解和应用示范的发展活动以及要求学生自主练习的练习活动；而活动中的几何证明题目又分为题干、问句和证明过程三个部分，其中证明过程又分为演绎性证明、操作性证明、操作+演绎性证明等等类别，证明过程最能明显的看到教科书编写者的意图以及提供给学生几何证明的机会，具体有以下的修改：
(1) 将发展活动中的讲解题和应用题分开研究。
(2) 将练习活动中的与主张相关和与证明相关合并研究。
(3) 两个活动增加操作性+演绎性证明的类型，因为在讲解题中存在先要求学生用动手操作的方式证明数学主张，再进一步提供演绎性证明的类型。讲解题中增加潜在的证明需求，因为应用题也有这种类型的证明过程。
(4)删除给出证明的大方向、过去和未来、留给学生证明这三个类型，因为本研究的研究对象中没有这些类型。
贰·研究方法
本研究采用的是内容分析法，本研究先对教科书进行编码统计，得到统计结果，在进行描述性分析的同时，对教科书中统计结果的特别之处加以质性的说明。
一、研究对象与内容
研究对象是台湾的A版本，根据98课纲编撰之版本；大陆教科书使用的是B版本，根据2011年九年制义务课程标准编撰之版本。每个版本各6册。范围是几何部分，研究教科书的发展活动和练习活动，而发展活动又分为讲解性质定理的讲解题和应用性质定理进行解题示范的应用题，练习活动是不提供给学生答案的练习题，比较这两个活动下三个题型证明过程类型的异同。
二、证明过程的分析架构
表2是本研究的教科书几何证明过程的分析架构。
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三、资料分析
(一)编码原则
教科书中讲解题的编码单位是性质定理，一个性质定理计编码一次，而应用题和练习题则是根据数学问题来编码，一个数学问题计一小题，编码一次。
(二)资料处理
进行两个版本间同一活动证明过程类型的对比，再进行同一版本不同活动证明过程类型的对比。
叁·研究结果
一、版本间同一活动的分析比较
对同一个题型不同版本间的证明过程进行分析比较。
(一)讲解题的推理证明
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注：括号外的数字代表这个类型的题目数量，括号内代表所占整体数量的百分比
如表3所示是两个版本讲解题证明过程的分析比较。演绎证明的过程最有助于学生证明能力的发展。如图1所示，A版学习的性质定理是内错角相等，两直线平行，提供的证明过程为演绎性证明，而操作性证明侧重与学生在操作中获得证明的经验，如图2所示是A版本的操作性证明，学习三角形内角和180度的定理是通过折叠的方式得到的，学生通过动手操作得到这个定理，操作性证明能有更直观的感知，更容易理解。但是对于同一个定理，B版本提供的是操作+演绎证明的过程，如图3所示，B版本先通过剪拼的方式得到了三角形内角和180度的定理，再提供演绎性的证明过程：通过作平行线的方式证得了此定理。相比于A版本的操作性证明，B版本既能有直观的感知经验，又能将证明的思维上升到演绎性的证明思维，如此可见操作+演绎证明的过程兼具两者的优点，更有利于学生几何证明能力的发展。
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图3 操作+演绎性证明
从题数上看，两个版本题数最多的都是演绎性证明，A版本要更多，是B版本的两倍多，第二多的是操作性证明。从百分比上来看，两个版本的证明过程主要集中在演绎性证明和操作性证明；A版本的操作性+演绎性证明的百分比不足10%，相对较低，而B版本的没有证明的百分比超过了10%，相对较高。没有证明可能会不利于一些低成就学生的学习，这一点值得我们思考。
因此可以得知，两个版本讲解题主要的证明过程是演绎性证明和操作性证明，演绎性证明的比重最高，其次是操作性证明；A版本操作+演绎性证明的成分相对较低；B版本没有证明的比重相对较高。
(二)应用题的推理证明
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注：括号外的数字代表这个类型的题目数量，括号内代表所占整体数量的百分比
如表4所示是两个版本应用题证明过程的分析，可以发现应用题的证明过程种类没有讲解题多，只有演绎性证明和潜在的证明需求两种证明过程。从题数上看，两个版本都是潜在性的证明需求题数最多，如图4所示，是潜在的证明需求的类型，要求求出角的度数，虽然没有要求说理或证明，但是在解题过程中会通过几何证明得到角之间的关系，从而间接求解出角的度数，属于潜在的证明需求的类型。从百分比上来看，潜在性的证明需求百分比是最高，A版本为84.8%，B版本为65.0%；A版本的演绎性证明百分比相对较低。
因此可以得到在应用题中，两个版本的证明过程只有演绎性证明和潜在的证明需求两种，种类较少；潜在的证明需求居多；A版本演绎性证明比重相对较低。
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图4 B版本潜在的证明需求
(三)练习题的推理证明
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注：括号外的数字代表这个类型的题目数量，括号内代表所占整体数量的百分比
如表5所示是练习题的要求学生提供的证明过程的类型，练习题的证明过程需要从问题来判断，要求进行形式证明的问题则属于演绎性证明的方式，若要求进行用度量的方式证明结论则是操作性的证明，如图5所示的B版本的操作性证明，要求学生用刻度尺或圆规验证线段的大小关系。
从题数上来看，两个版本都是潜在的证明需求题数最多，B版本的更多，其次是演绎性证明，B版本有119个，而A版本只有19个；除此之外，B版本还有操作性证明的类型，A版本则没有。从百分比上来看，潜在的证明需求百分比是最高的，其次是演绎性证明最高，B版本相对较高，A版本的百分比不足5%，B版本操作性证明的百分比为2.2%。
因此可以得知两个版本主要要求提供证明的过程是潜在的证明需求，演绎性证明百分比低于B版本；A版本没有操作性证明且种类没有B版本多。
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图5 B版本操作性证明
已经进行了不同版本同一活动类型证明过程的对比，而版本间的对比情况又是如何?接下来看版本内的比较。
二、版本内不同活动的分析比较
同一个版本不同题型间的证明过程的分析比较。
(一)A版本
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注：括号外的数字代表这个类型的题目数量，括号内代表所占整体数量的百分比
如表6所示，是A版本练习题证明过程的分析比较。不同活动，证明过程不同，讲解题的类型最多。从题数来看，演绎性证明题数最多的是讲解题104个，最少的在练习题只有14个，潜在的证明需求题数最多的是练习题313个。从百分比来看，讲解题演绎性证明百分比最高，而应用题和练习题的比重都较低，尤其是练习题不足5%。
可以看出A版本的讲解题证明过程类型最多，A版本演绎性证明比重最高的是讲解题，练习题演绎性证明百分比是最低的。
(二)B版本
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注：括号外的数字代表这个类型的题目数量，括号内代表所占整体数量的百分比
如表7所示，是B版本练习题证明过程类型的分析比较，B版本讲解题类型最多，应用题最少。从题数上来看，演绎性证明题数最多的是练习题119题，远多于讲解题和应用题，潜在的证明需求题数最多的也是练习题552题，远远超过讲解题。从百分比上来看，演绎性证明比重最高的同样是讲解题，且练习题是最低的。
B版本讲解题的类型最多。讲解题演绎证明的百分比最高，练习题的演绎性证明虽然题数最多，但是百分比却最低。
肆·结论与建议
一、结论
经过比较分析，两个版本在证明过程的异同点，主要的发现包含:
(一)两个版本的共同点
1. 两个版本在讲解题中都以示范方式出现，期望学生学习演绎性证明最多。A版演绎证明最多，百分比为62.3%，B版本演绎证明最多，百分比为44.6%。练习题和应用题多数是以隐含的方式来加强学生的几何证明学习，而且是要求学生达到非形式化演绎证明。
2. 对于演绎性证明，在三个题型中，两个版本都是讲解题百分比最高，练习题最低。A版本演绎性证明百分比最高的是讲解题，为62.3%，最低的是练习题，为4.3%；B版本演绎性证明百分比最高的是讲解题，为44.6%，最低的是练习题，为17.3%。
3. A版本和B版本的应用题均不包含和操作性证明有关的证明过程。
(二)两个版本的差异
1. 在讲解题中，B版本没有证明的百分比相对较高。B版本没有证明的百分比为12.9%，高于A版本的6.0%。部分性质定理不提供证明过程，这可能对于一些低成就的学生来说不容易接受，从而不利于学生证明的学习。
2. 演绎性证明在讲解题中A版本比B版本百分比高。A版本百分比为62.3%高于B版本的44.6%；演绎性证明在应用题和练习题百分比A版本都低于B版本：应用题A版本演绎性证明百分比为15.2%低于B版本的35%；练习题A版本演绎性证明百分比为4.3%低于B版本的17.3%。
3. A版本在练习题有和操作性证明有关的类型，而B版本在练习题中没有含有操作性证明的类型。
二、建议
根据研究结果，提出如下建议：
增加操作性证明的类型，体会不同证明层次。
根据研究结果可以得知A版本应用题、练习题和B版本的应用题均没有包含操作性证明的类型。因此建议各个题型均需要有和操作性证明有关的类型，帮助学生体会不同证明层次。证明过程类型不只有演绎性证明的，无论学生是否有机会阅读或建构演绎证明，并提出命题和判断命题的真伪，教科书在几何证明活动中都需要提供平等的机会，使学生能够接触各种类型的证明问题(Stylianides, 2009)，Stylianides(2009)设计了一个模型，包含了证明的机会：操作性证明、说理再到演绎性证明，按层次排列，以便学生可以在不同的年级水平上体验这些机会。因此学生需要了解不同的证明过程类型，有不同层次证明过程的体验，帮助发展学生证明的能力。
参考文献
吕凤琳（2010）。几何证明不同文本呈现方式对学生认知负荷与阅读理解影响之研究（未出版硕士论文）。台湾师范大学，台北市。
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