胡景博
中国民航飞行学院 四川德阳 618307
摘要：本文主要参照数学模型“双层玻璃的功效”，从隔热效果、购买成本两个方面对玻璃材质的选择进行科学性分析，设置两个实验组、一个对照组，通过公式推导、图形分析、对比分析等方法得出“不是价钱越贵的玻璃隔热效果越好”，“双层玻璃比单层玻璃隔热效果更好”等结论，并在文末对不同经济条件的家庭应当选择什么样材质的玻璃给出了具体建议。
关键词：热传导系数、单位时间通过单位面积的热量、购买成本。
一、双层玻璃的功效：
两层厚度为d的玻璃夹着一层厚度为l的空气，以达到保暖的效果，减少室内向室外的热量流失。
二、课本中得到的结论：
1.双层玻璃比单层玻璃保暖效果更好；
2.如果分别用Q1,Q2表示在室内温度T1，室外温度T2均相同，单双层玻璃用的材料及材质相同的条件下使用双层玻璃和单层玻璃在单位时间内通过单位面积的热量，则有以下关系式：
Q1/Q2=2/(s+2),其中s=h*(k1/k2),h=l/d,
由此可以看出Q1<Q2在任何条件下都成立，而且双层玻璃在减少热量损失上的功效主要取决于l/d,即夹层空气和玻璃的厚度比，那么这个比值是不是越大越好呢？其实不然。
3.由图可知，当l/d>4后，Q1/Q2下降将变缓，因此建筑要求通常为l/d=4,此时Q1/Q2=0.03，即双层窗比用同样多玻璃材料制成的单层窗节约能量97%左右。
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三、新问题的提出：
众所周知，如果选用双层玻璃，内 、外层玻璃的易磨损程度以及制造成本不同，显然外层玻璃更易磨损，选用工艺更好，制造成本更高的玻璃可以延长玻璃的使用寿命，而内层玻璃则可以选用制造成本较小的玻璃，如此在节约成本的同时还能保证玻璃的保温效果。因此，不妨选择内外层玻璃材质不同的方案，其中内层玻璃选择轻巧且成本较小的材料，外层玻璃选择工艺更好且成本更高的材料。
（一）模型假设：
1.热量传播只有传导，没有对流，即玻璃密封性能很好，两层玻璃之间空气不流动；
2.室内温度T1和室外温度T2保持不变，热传导过程已经处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数；
4.玻璃的成本以购买成本为计，不考虑装潢和修缮等产生的费用。
（二）模型构成：
1.方案一：
内、外层玻璃厚度都为d，夹层空气厚度为l,室内温度为T1，室外温度为T2,内层玻璃外侧温度是Ta，外层玻璃内侧温度是Tb，空气热传导系数k3，单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量为Q1。
内层玻璃的热传导系数为k1,材料的购买成本是c1；外层玻璃的热传导系数为k2,材料的购买成本是c2(其中k1>k2,c1<c2)。
原理图如下：
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2.方案二：
将内外层玻璃的材质对调。
3.方案三：
内外层玻璃材质一样，即k1=k2。
（三）模型求解：
选择市面上比较有代表的玻璃，关于成本购买c与热传导系数k的关系查阅资料如下：
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1.方案一：
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（四）模型应用：（结论）
1.无论两种不同的材质哪种用在外层玻璃，哪种用于内层玻璃，保温效果都相同；
2.如果用k1材料做内外两层玻璃，由Q3’>Q1可得保温效果有所降低，但购买成本也随之降低；如果选择k2 材料做双层玻璃，由Q3”<Q2可得保温效果提高，但购买成本有所提高；
根据Q3’/Q1 ,Q3”/Q2与k1/k2的关系作图，探讨两种材料的选择“艺术”(这里忽略了 和对分数值的影响，因为分子分母中都含有此项）：
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3.关于k1/k2的选择，由上图可以看出，如果选择较好的材质制作两层玻璃（两层k2,单位时间内通过单位面积的热量为Q3”），需对解析式“y=0.9216*x^(-0.246),x≧1“进行研究：
y’=-0.227*x^(-1.246)≈-0.227*x^(-1.2)=-0.227*
y”=0.283*x^(-2.246)≈0.283*x^(-2.2)=0.283*
故y”>0在x≧1时恒成立，所以y在x≧1上是凹函数，可以看出，当x≧8时，y的下降逐渐趋于平缓，因此应当选择k1/k2=8~10的玻璃材质，通过提高购买成本来刻意地缩小 k2的值已经意义不大，加之前面研究得到的“当成本大于一个峰值（268.33元/平方米）时，k值将会增大”的结论，不建议通过一味地增大购买成本来获取更好的保温效果，而是要寻找一个最优解；
4.保温效果：存在一个最优成本解使得玻璃的保温效果达到最佳，双层玻璃比单层玻璃的保温效果要好。
5.选择玻璃的建议：对于普通家庭，选择白玻中空；对于富裕家庭，选择Low-E中空玻璃。
参考文献：
[1]姜启源,谢金星,叶俊.《数学模型》，北京：高等教育出版社，2018.