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证明不等式方法之利用导数构造函数

发表时间：2021/8/5 来源：《中国教师》2021年8月下作者：袁世勇陈菊蓉

[导读]

袁世勇陈菊蓉   四川省广汉市第六中学校四川省广汉中学
中图分类号：G652.2   文献标识码：A   文章编号：ISSN1672-2051 （2021）8-123-02
        利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
        一、一元一次不等式，直接移项作差，构造一元函数
        例1 试证明：当时，≤≤x.
        证明   令，则.
        当时，；当时，.
        因此，当时，≤，即≤0. 故≤x.
        令，则
        当时，，当时，.
        因此，当时，≥，即≥0，故≤.
        综上可知，当时，有≤≤x.
        注   这是一类较为容易接受的类型，因此从策略上来说，只须通过移项作差，构造函数，再利用导数研究函数的单调性和极值即可。

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        二、二元条件不等式，定主元，转化为一元函数定义域上的最值问题
        例2 已知a，b为正数，且a＋b＝1. 求证：≤≤.
        证明令a＝x，则b＝1－x，从而，构造函数，则
        求的零点并讨论的符号，显然等价于求
        的零点及其符号的变化. 易见当时，因而. 且当，故，f(x)单调递增；当时，故，f(x)单调递减. 所以函数f(x)在处取得最大值.在x＝0或x＝1处取得最小值.又，所以，即.
        注本题为一个二元条件不等式，因此在解决这类问题时，主要是剥离出一个元来，视为主元，同时将其中一个元利用条件的制约关系用主元表示. 再利用不等式的结构特征构造一元函数，问题转化为定义上的最值问题.
        三、二元不等式，定主元略从元，以主元为变量从元为常量
        例3 已知函数设，证明：
        .
        证明   先证左边，设，则
        令，得x＝a.
        则当时，，故在(0，a)内为减函数；当时，，故在(a，＋∞)内为增函数. 从而，当x＝a时，F(x)有极小值F(a)＝0. 因为，所以，即.
        再证右边. 设，则
        则当时，，因此在(0，＋∞)内为减函数. 又，所以
        ，即
        综合可得
        注   本题不同于上题的一大特征是在条件上，因此除了定主元，还需略从元，即以主元为变量，从元为常量，问题转化为利用导数研究函数的单调性和区间最值.
        四、二元不等式，抓住结构特征，合理变形，构造函数
        例4 （全国理科卷）已知a，b为实数，且，其中e是自然对数的底，证明：.
        证明，构造函数，则
        当时，，故，在上为减函数. 又因为，所以. 即，所以.
        例5 已知i，m，n为正整数，且1＜i≤m＜n，证明：.
        证明   i，m，n为正整数，且1＜i≤m＜n，所以n＞m≥2，从而设
        则
        考虑到x≥2，则有，，所以. 因此函数为单调递减函数，因为n＞m≥2，所以
        即
        故
        注   以上两例具有共同的特征，都是发掘特征不等式的结构特征，合理变形，构造函数，利用导数研究函数的单调性使不等式得以证明. 当然，不等式的变形取决于个人知识的积累，如例4还可以对变形为，于是可考虑构造函数. 同理对于例5还可以构造函数，证明方法上是一致的.
        此类问题的特点：问题以不等式形式呈现，而主角往往是导数。因此构造函数成为证明不等式的良好载体。如何有效合理地构造函数是不等式获证的关键，抓住这个关键解决此类问题就会变得轻车熟路。