上海外国语大学附属大境中学 蔡俊杰 200011
摘要：计算机仿真是计算机技术未来发展的重要方向，自然界多数的物理、化学以及生物等过程都可以采用计算机仿真的方式提前实现对结果的预判。本文探究了计算机仿真技术中所蕴含的数学原理，计算机仿真建模的过程本质上是一个解方程的过程，本文以线性方程组、非线性方程组以及微分方程的数值解法为例，揭示了计算机仿真技术的数学机理，在此基础上对现代计算机仿真技术的应用进行了归纳和总结。
关键词：计算机仿真；方程求解；牛顿法；应用实例
1引言
1.1研究背景与意义
随着人类科学技术的发展，人们面对着越来越复杂的工程实际问题，并且难以依靠人力进行计算分析。计算机诞生以后，依托计算机的强大计算能力，使复杂科学与工程问题的理论计算成为可能，甚至在科学定律的约束下，计算机可对系统未来的发展趋势做出准确预测，从而使人们在事件发生前掌握系统未来的运行状态，称为计算机仿真。通过合理的建立实际问题的计算机模型，可利用计算机对实际问题进行分析预测。现如今，计算机仿真技术已经渗透到各行各业。在建筑领域，可利用计算机仿真分析技术对材料结构、强度进行优化；在输电领域通过计算机仿真可以分析电力系统各种故障发生后系统的运行状态，校验各种设备是否满足安全规定；本文对计算机仿真技术背后的数学原理进行了探究，揭示了仿真技术所蕴含的数学本质，从而对进一步理解计算机仿真、优化计算机仿真过程提供一定程度的理论参考。
1.2文献研究现状
对计算机仿真模拟技术的研究已有多篇文献报道。华萌萌等在气候变化领域应用了机器学习技术[1]，以众多古气候论文作为数据源对所构建的模型进行了训练，将其分为9种类型，并以词云图方式对所构建的模型进行了精度校验。结果表明，所构建的模型准确抓取了古气候的关键性要素，在所研究领域具备一定的指导意义。伍乐生对计算机仿真模拟技术进行了归纳和总结[2]，进一步指出了计算机仿真技术在科学与工程学领域的应用，综述了计算机仿真模拟技术当前的发展现状，并对该技术未来的发展趋势进行了探讨。王征等针对零件热处理过程中组织性能分布难以准确预测的问题[3]，提出了采用计算机模拟仿真分析材料热处理过程中内部应力的技术解决方案，从而使零件热处理过程能够很好地在计算机上复现，对零件热处理优化设计具有很好的工程价值。
2计算机仿真技术的数学原理
本节将以线性方程组、非线性方程组以及微分方程的求解为例，对计算机仿真所涉及的数学原理进行探讨。
2.1线性方程(组)的处理
线性方程(组)是由常系数将各个变量线性组合起来的方程，形式上和求解上通常较为简单。在由电阻构成的电路中，根据式(1)所示的基尔霍夫定律所列出的电路方程即为线性方程组，通过对该方程组的求解即可求出电路中任何一个电阻元件上的电压及整个电路中的电流分布。在计算机辅助电路分析中，通过求解线性方程便可预知结果，从而为工程师事前优化电路设计提供支持。
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其中，Ik、UK分别表示该电路中各支路的电流和电压。对于具有多个节点多条支路的电路而言，可根据公式(1)列出约束电路物理行为的方程组，设该电路有b条支路，则以Ik、UK为自变量的方程共可列出2b个，求解该方程组便可得到电路的电流、电压分布情况。
设所得的由各支路电流向量I=(I1, I2, I3…. Ib)T、电压向量U=(U1, U2, U3…. Ub)T组成的方程组表示为如式(2)所示的分块矩阵的形式：
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其中，A、B、C、D分别表示由电路中电阻数值以及电路中各个电阻元件之间的连接关系所决定的结构矩阵，而矩阵E则为驱动电路产生电流和电压的电动势矩阵，它们共同蕴含了该电路的基本信息。在计算机仿真软件中，通常存在如图1所示的画布，用于绘制所要仿真的系统或过程。
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图1 电路仿真软件PSCAD/EMTDC画布界面
通过在画布上连接对应的电路元件，并给出该电路元件的基本参数，例如电阻阻值等信息，计算机便可自动生成反映该电路连接关系与参数的矩阵A、B、C、D，E通过对式(2)中线性方程组的求解便可以获得全电路的电压、电流分布情况。对式(2)的求解在计算机中通常采用高斯消元法，通过前推、回代的过程将式(2)中的矩阵化解为对角线矩阵，从而求解出电路中的电压、电流分布。
2.2非线性方程(组)的处理
上节简要介绍了可简化为线性方程求解的仿真过程，对于自然界的大多数物理过程通常是由非线性方程来约束的。当电路中某些电路元件参数随流过该元件的电流或加在该元件两端的电压变化而变化时(例如：小灯泡的电阻值通常随流过小灯泡的电流变化而发生改变)，该电路为非线性电路，由式(2)导出的电路方程也将为非线性方程。对于非线性方程组的求解通常采用牛顿法得到非线性方程的数值解，进而求解出整个电路的电流、电压分布情况。
2.2.1非线性方程的牛顿法
图2给出了非线性方程牛顿法求解的基本原理，使用牛顿法求解方程时首先需将方程解的问题转化为函数零点的问题，即将F(x)=b方程的根转化为f (x)= F(x)-b的零点。对于非线性函数y=f (x)，其零点真值为x*，使用牛顿法求解时需选取初值x0，由于x0初值的选取具有一定的任意性，因此需通过做切线逼近的方法逐渐向真实零点x*靠拢。
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图2 牛顿法求解非线性方程原理示意图
过点(x0, f (x0))作函数y=f (x)的切线T，可得该切线方程如式(3)所示，其中f’(x0)为函数y=f (x)在点(x0, f (x0))处的导数。
y-f(x0)=f’(x0)[x-x0] (3)
令式(3)中y=0可求得上述切线T与x轴的交点横坐标：
x1=x0-f(x0)/f’(x0) (4)
由图2可见，切线T与x轴的交点横坐标x1在数值上比初值x0更靠近函数的真实零点x*。同样再重复上述操作，过点过点(x1, f (x1))作函数y=f (x)的切线并得到该切线与x轴的交点横坐标x2，则x2在数值上比x1更靠近函数的真实零点x*，经过多次同样的迭代，最终所得切线与x轴的交点横坐标xn将与函数y=f (x)的真实零点x*非常接近，对于给定的精度e，满足数值求解的精度要求：
|f(xn)-f(x*)|<e (5)
上式表明以数值解xn替代真值x*引起的误差在精度e范围内，对于复杂的非线性方程通常可以实现高精度求解。牛顿法将求解非线性方程的问题转换为一次次线性逼近真值的过程，对于现代计算机而言，通过多次迭代即可快速求解出该非线性方程的解，迭代公式如下：
xn+1=xn-f(xn)/f’(xn) (6)
当迭代结果满足式(5)时即可打印输出该结果。牛顿法求解非线性方程时首先需要选取合适的初值，且结果的收敛速度也比较快，能够快速逼近真实值。
2.2.2 非线性方程组的求解
自然界的物理规律通常由多个变量或因素来决定，因此在求解实际问题时往往遇到的是多元非线性方程组，对于多元非线性方程组同样可用牛顿法进行数值求解。设有如下由n个方程组成的n元非线性方程组：
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方程组中共有x1, x2, x3…. xn共有n个变量，记n个变量组成的向量为X=(x1, x2, x3…. xn)T。则式(7)可写为：
F(X)=0 (8)
因此，套用2.2.1节非线性方程的牛顿解法，可得含有多个变量的非线性方程组牛顿法迭代公式如下：
Xn+1=[ F’(xn)]-1[Xn-F(xn)] (9)
其中，F’(xn)为函数F对向量xn求导所得的矩阵，而[ F’(xn)]-1表示该矩阵的逆矩阵。Xn与Xn+1分别表示迭代前与迭代后向量X的数值。通过式(9)中的修正公式，方程F(X)=0的数值解将逐渐逼近真值X*。设定精度e，当将数值解带入原方程满足式(10)时，表明数值解已收敛到一定精度，在该精度范围内可近似替代方程的真值。
|F(Xn)-F(X*)|<e (10)
2.3 微分方程(组)的处理
自然界的物理过程通常是随时间变化的，其约束关系除用代数方程描述外还存在微分方程。计算机对于微分方程的处理通常利用微分的基本定义将微分方程转换为差分方程，而差分方程本质上是代数方程，因而计算机处理微分方程时最终转换为本章2.1-2.2节叙述的代数方程进行处理。例如，根据导数的定义：
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对于含导数f ’(t)的方程或方程组，当Δt趋于0时，可用式(11)将原微分方程进行转换。取Δt=0.001，则有：
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计算机通过将微分方程转化为代数方程可以很快的实现复杂问题的求解，其中Δt称为步长。显然，步长越小分析精度越高，但计算量也相应增大了。
3 计算机仿真技术的应用
3.1 计算机仿真在气象预测的应用
借助大气科学领域的基本自然规律，现代人类已经能够通过当前气象数据利用计算机仿真技术对未来几天的气象变化进行预测，并且精准度在稳步提升。气象预测使人们对穿衣出行、灌溉耕种有了科学依据，不再“看天吃饭”，这需要归功于现代计算机仿真技术的发展。
3.2计算机仿真在交通运输的应用
现代计算机仿真模拟技术可以帮助人们对交通安全做出合理评估，通过对交通交通安全的数字化仿真，可以复现交通事故发生的诸多外在因素，对未发生的交通事故也可以防患于未然。
3.3 计算机仿真在电力系统的应用
电力系统是涵盖发电、输电、变电、用电等多环节、强非线性、高阶的复杂系统，对电能传输规律和分布的预测指导着科学用电和发电的安排，现代人们借助各种计算机软件对电力系统的运行行为进行精准预测，从而指导电能量的生产传输，在一定程度上提高电力系统的稳定性，避免因电力系统震荡引起发电机脱网导致大停电事故的发生。
4结论
本文以线性方程组、非线性方程组以及微分方程的求解为例，对计算机仿真所涉及的数学原理进行探讨，实际的计算机仿真过程便大量运用了相关的数学技术。论文最后对计算机仿真技术在交通运输、天气预测、电力系统的应用进行了总结和归纳。随着数学理论的进步，计算机仿真也在朝着解决更复杂问题方面不断前进！
参考文献：
[1]华萌萌,尹君,胡召玲,张学珍.基于机器学习的历史气候重建论文智能识别与数据挖掘初探[J/OL].第四纪研究:1-12
[2]伍乐生.计算机仿真技术的发展现状与创新研究[J].吉林广播电视大学学报,2017(10):34-35.
[3]王征,宋月鹏,柳洪洁,高东升,张帅,张韬,Kim Hyoungseop. 基于应力-应变分布计算机仿真模拟淬火零件结构的优化设计[A]. 中国体视学学会材料科学分会、中国金属学会材料科学分会.第十届全国材料科学与图像科技学术会议暨校地企产学研合作创新论坛论文摘要集[C].中国体视学学会材料科学分会、中国金属学会材料科学分会:中国体视学学会,2016:1.