孙万兵
甘肃省环县第五中学 甘肃 庆阳 745700
在闭合电路中，电源提供的功率等于内外电路消耗的功率之和，对于含有可变电阻的纯电阻电路，可变电阻的阻值变化直接影响着电源的总功率，也影响着闭合电路中各部分的功率分配。电源的最大输出功率是电源性能的重要标志之一，求电源最大输出功率的问题也是电功率这部分内容的难点，学生虽经反复练习，但仍不得其法。笔者经过调查得知，学生出错的根本原因在于不理解功率取最大值的条件。这里笔者就电源最大输出功率的条件论证及应用，结合自己的教学实际谈一点粗浅的认识，请同仁指教。
一、基本规律及条件论证
1.规律一，当电源电动势E和内电路电阻r一定，外电路的电阻R可变时，电源的输出功率在满足条件的情况下，可取得最大值Pmax=E2/4r。下面用多种方法对此结论加以证明，旨在让中学生读者选择适合自己认识的证法，以加深对电源最大输出功率条件的理解。
1.1 证明方法之一，公式法
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1.3 证明方法之三，利用二次函数的极值。
若路端电压为U，电路中电流为I，则外电路中消耗的功率应为P=UI，而据闭合电路的欧姆定律有U=E-Ir（4）
所以电源输出功率可以表示为
P=(E-Ir)I=-rI2+EI（5）
由(5)式可以看出，输出功率P是电流I的二次函数，且二次项系数为负，因而当电流
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1.4 证明方法之四，图像法
根据(4)式作出路端电压随电路中电流变化的图像（图1），图像上任意一点N所对应的路端电压为U，电流为I，则这时消耗在外电路上的功率P=UI可以用图中矩形（画斜线部分）的面积来表示。
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可得，r取值越小，输出功率P越大。
二、应用
在实际应用中，有些问题是求电源向整个外电路输出的最大功率，这类问题可以直接应用规律一求解；有些问题是求外电路某一电阻或某一部分电路的最大功率，这类问题处理的办法是把求解对象等效看作外电路，而把其余电阻均等效看作电源内阻的一部分，当可变电阻包含在等效外电路中时，应用规律一求解，当可变电阻包含在等效内电路中时，应用规律二求解。如：
例1 如图2所示，定值电阻R1＝2Ω，R2为最大阻值为6Ω的滑动变阻器，电源电动势E=12V，电源内阻r=3Ω。求：
（1）R1和R2消耗的总功率的最大值。
（2）R1消耗功率的最大值。
（3）R2消耗功率的最大值。
解析：（1）R1和R2消耗的的总功率就是电源的输出功率，若R1和R2的总电阻为R，则当R=r=3Ω（此时R2=1Ω）时，R1和R2消耗的功率有最大值
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（2）把R1单独看作外电路，而把R2等效看作电源内阻的一部分，此时等效电源内阻r1是可变的,r1=r+R2 ，当R2＝0时，r1取值最小r，因而此时R1的功率最大
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（3）把R2单独看作外电路，而把R1等效看作电源内阻的一部分，此时的等效电源内阻r2＝r+ R1＝5Ω，因而当R2＝r2＝5Ω时，R2的功率有最大值
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当求解最大功率的对象是可变电阻（或包含可变电阻）时，如果求解对象的总电阻变化到极限值还未能达到电源内阻（或等效电源内阻），则求解对象的总电阻取最接近电源内阻（或等效电源内阻）的值时，其功率取得最大值，如：
例2 如图3所示，电源电动势恒为12V，电源内阻r=3Ω，定值电阻R1=6Ω，R3=15Ω，R2为一滑动变阻器，最大阻值为6Ω。求：
（1）R1和R2消耗功率的最大值。
（2）R2和R3消耗功率的最大值。
解析：（1）把R1和R2看作外电路，则等效外电阻R外1=R1+R2，而把R3等效看作电电源内阻的一部分，这时等效电源内阻r1=r+R3＝18Ω，阻值的变化范围是6Ω≤≤12Ω，当R2＝6Ω时，R外1＝12Ω，R外1最接近r1，所以R1和R2消耗功率有最大值
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（2）同理，R外2=R2+R3，其变化范围是15Ω≤R外2≤21Ω，r2=r+R1＝9Ω，因而，当R2＝0时，R外2＝15Ω，R外2最接近r2，R2和R3消耗功率有最大值
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总之，电源最大输出安功率是高中物理动态电路分析的重要组成部分，恰当应用以上所述两条规律，可以简化复杂的电路分析，达到事半功倍的效果。