李权 鲁光福
云南省楚雄东兴中学 675000
1、前言
党的十八大以来，习近平总书记就教育改革发展作出了一系列重要讲话、指示批示，提出了一系列新理念新思想新观点，形成了习近平总书记关于教育的重要论述。如何在教学中关注并落实学科核心素养的培育，必将成为高中教师的一项重要任务。本文以“余弦定理”为例，谈一下核心素养下的教学实践。
2、教材分析
“余弦定理” 是人教A版(2019)必修二第六章第四节的内容， 生活中也经常用到余弦定理解决实际问题，比如测量问题等。教材中在学习了平面向量的线性运算和坐标运算后，通过探究“己知三角形的两边及其夹角求第三边”得到余弦定理。那么，在数学的发展历史中，三角形的边角边关系源于哪里？余弦定理是如何被发现？又是如何被证明的呢？
2.1余弦定理的起源
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值的关系的数学定理，可以看作勾股定理在非直角三角形中的推广，余弦定理是揭示三角形边角关系的一个重要定理，直接运用它可解决一类三角形中知三求三的问题。余弦定理的历史可追溯至西元三世纪前欧几里得的几何原本，在书中将三角形分为钝角和锐角来解释，这同时对应现代数学中余弦值的正负。
2.2 余弦定理的证明
《几何原本》中对余弦定理的论述如下：
命题12在钝角三角形中，钝角所对的边上的正方形比夹钝角的二边上的正方形的和大一个矩形的二倍，即由一锐角向对边的延长线作垂线，垂足到钝角之间一段与另一边所构成的矩形。
命题13在锐角三角形中，锐角对边上的正方形比夹锐角二边上的正方形的和一个矩形的二倍，即由另一锐角向对边作垂线，垂足到原锐角之间的一段与该边所构成的矩形。
.png)
3、教学设计及实施
3.1课前分析
教材中是在学习了向量运算的基础上，利用向量的基底法表示出第三边，利用模长推导余弦定理。笔者认为向量作为一个解决几何问题的工具，利用向量的方法确实能让学生体会到利用向量解决问题的方便、简洁。但是解三角形作为高中阶段一个重要的知识点，在揭示定理的过程中利用勾股定理的延申、射影定理等学生已有的知识，更有助培养学生解三角形的意识。
3.2教学过程
新课引入
.png)
师：非常好！当年数学家欧几里得就是这样推导出的余弦定理，你已经和他呼应上了。如果在锐角三角形中，能不能推导呢？
生2：可以，同样作出一边上的垂线，利用勾股定理展开即可。
师：很好，那有没有其他办法推导呢?比如利用三角函数如何表示a？生3：可以，如图3，由三角函数的定义，
师：同学们继续思考，我们刚刚学过向量，那么这个问题利用向量能否推导呢?同学们先试试用基底法。
生4：把▔AB`,AC`当作基底BC`=AC`-AB`，那么,对这个式子两边同时平方化简即可。
师：很好，前面我们刚刚学过向量，他巧妙的借助向量的线性运算，通过模长求出定理。我们学习就是要学以致用。那么利用向量的坐标运算能不能推导呢？
生5：我有一种非常简单的办法，可以借助直角坐标系。
.png)
整理即可得到。
师：非常好！把问题坐标化，利用向量模的坐标运算，简洁，明了。5位同学的给出的推导都非常精彩，让老师见识到了什么叫“高手在民间”。
4、课后反馈
课后我对班上60名同学进行问卷调查，有40名同学表示印象深刻，了解了余弦定理的发展过程，有那么多的证明方法。55位同学表示喜欢这堂课。只有5名表示无所谓。
课后和学生交流，学生表示建立坐标系最简单，容易想到。勾股定理的证明经过提示也能掌握。射影定理由于是第一次接触不好想。
4，教学感悟
本节课通过对余弦定理不同证明方法的探讨，教师以问题串的形式发问，从不同的角度引导学生分析、发现规律，在探究的过程中加深了学生对定理的理解，也潜移默化的培养了学生解三角形的基本素养。
此外，通过学生的反馈我发现，适当的运用数学史知识，带着学生感悟知识的形成过程，效果远远大于单纯的讲授课本知识。引导学生动手、动脑学生往往能给老师意外的惊喜。
总之，在数学教学中，要注意数学内在的前后一致，逻辑连贯性，把知识问题化，提升学生的逻辑推理、数学建模和直观想象等素养；把问题情境化，引导学生在不同背景下解决问题，提升学生的逻辑推理和数学运算等素养。教学过程还要注意多维视角的教学设计与学生数学活动的多样化。
参考文献：[1]侯晓娟. 基于数学核心素养的《余弦定理》教学设计[J]. 数学之友, 2017(12):33-36.