张海波
武警工程大学基础部高等数学教研室
摘要：高等数学是大学的一门重要课程，马克思曾说过，“任何一门科学，只有当它成功地应用了数学时，才算达到了真正完善的地步”。而定理是经受逻辑限制的证明为真的陈述，是数学理论的重要组成部分，但实际课堂教学中过多的倾向于定理的证明及定理的使用，而对定理的条件以及结论分析过少，对定理的形成过程不加探究。本文以拉格朗日中值定理为例，通过数形结合的数学思想及问题驱动的教学方法，探究拉格朗日中值定理的形成过程、证明方法及相关应用。
关键词：高等数学； 拉格朗日中值定理； 数形结合； 问题驱动
一、课堂引入
罗尔定理：如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)f(a)=f(b),那么在(a,b)至少存在一点ζ∈(a,b),使得f`(ζ)=0。
片段设计：通过回顾上节知识，复习引入。提问学生，强调结论。
二、几何意义
条件（1）说明曲线是可以一笔画出的曲线弧；条件（2）说明曲线上除端点外处处有不垂直于x轴的切线；条件（3）说明曲线两个端点处的纵坐标相等，即A，B两点与x轴高度相等，连接A，B的弦AB平行x轴(如图1所示)。
由罗尔定理的结论可知，如果曲线具备以上三点特征，至少能找到曲线内的一点ζ，使得曲线在该点切斜率为0，即曲线有水平切线，平行x轴也平行弦AB。弦AB很关键，定理结论所反映的实质：在光滑曲线上，切线与弦AB必然存在的平行关系。
片段设计：几何解释时，重点突出弦AB的意义与作用，这是连接各中值定理的本质关系所在，在定理推广过程中以不变应万变。同时教师引导，学生观察，最终教师总结。
三、关键过渡
实际应用中，不难发现，罗尔定理的三个条件中，条件（3）要求区间端点处函数值相等是比较苛刻的，因为在我们学过的函数模型中，比如基本初等函数、初等函数，连续性及可导性都是可以保障的，第一章我们研究了他们的连续性，所以第一条没问题；第二章又研究了他们的可导性并给出了具体求导公式，所以第二条没问题；这两条都是可以满足的，但是很少有在区间端点函数值相等的函数，因为函数是有增减、有波动、有变化的。一个很自然的想法，就是直接把这个条件去掉，即端点函数值f(a)不等于f(b)。
片段设计：逐一分析罗尔定理条件，发现局限性，提出改进想法。教师引导，学生给出条件上的改进方式。
四、提出问题
罗尔定理成立的三个条件缺一不可！如果去掉这个条件，原来的罗尔定理结论将不一定成立；那么问题来了：在新的条件下，我们还有与之对应的结论吗？如果有，这个结论又会是什么？
片段设计：新的条件对应产生新的问题。
五、几何探究
我们仍然通过几何意义来说明问题(如图2所示)。f(a)不等于f(b)，几何上看来，就是曲线端点A，B与x轴高度不一样。回到图形上，也就是在罗尔图形基础上，将曲线适当旋转而成，弦AB也由水平弦随之旋转到对应位置，弦AB所在直线斜率
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片段设计：通过数形结合，进行问题探究。引导学生观察并提问：罗尔图形基础上，如何产生这样的新变化？提示：平移还是旋转？
现在，如果将弦AB上下平移，容易发现：只要f(x)的曲线仍然是连续的曲线弧，除端点仍然有处处不垂直于x轴的切线，那么弦AB在上下平移的过程中，便能与f(x)的曲线至少相切于一点ζ，即该点处的切线与弦AB平行，该点的切线斜率等于弦AB的斜率，反映到数学关系上，即
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片段设计：引导学生观察，旋转对图形产生了变化，但其中的不变关系是需要我们挖掘的。只有这样才能以不变应万变。
实际上，对比罗尔图形，端点处函数值不相等的情况， 相当于将罗尔图形进行适当旋转，旋转后图形每点的坐标都会发生变化，但是我们会发现，曲线端点弦AB与曲线内点处切线的相对平行关系是不变的。不管如何旋转，函数如何变化，弦AB的这种平行关系是不变的，这是我们的突破口，我们可以以此以不变应万变。
片段设计：与罗尔图形对比，进一步揭示旋转关系改变下的不变关系——平行关系，从而抽象出弦AB的普遍意义，把握弦AB的普遍作用。对数形结合思想做出升华。
六、核心猜测
结合所得几何结果，在数学上，我们得到如下猜想：
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么至少存在一点
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对于猜测，几何上是没有问题的，但我们猜的对不对，还需要数学上给出严格的验证。
片段设计：回归数学形式，给出猜测，并进一步思考猜测的准确性，给出严格推理论证过程。
七、推理论证
（一）思路分析
1.与罗尔定理关系；
2.构造辅助函数 g(x)=f(x)-φ(x) ；
3.几何构造法，图像看成由两部分曲线构成(如图3所示)：
(1)曲线f(x)；
(2)弦AB所在直线：
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片段设计：1.突出罗尔定理与猜测（即拉格朗日中值定理）的关系；2.对于辅助函数，使学生明确两点：(1)为什么要构造辅助函数？(2)如何构造辅助函数？
（二）推理论证
证明：根据上述分析作辅助函数，由罗尔定理，即证得结论。
片段设计：构造辅助函数的方法不唯一，得到的辅助函数也不唯一。这里用几何构造法，使数形结合思想贯穿定理猜测、形成、证明的全过程。
八、形成定理
片段设计：形成本节核心定理，做条件及结论上的深化并介绍伟大数学家拉格朗日事迹，强调科学精神，课程思政，潜移默化中润物无声。
九、等价变形
对于拉格朗日中值公式有如下重要变形形式：
片段设计：变形式要求：(1)会相互转化、相互推导，从数量关系上加以掌握；(2)对具体的变形式，不仅要在数量关系上加以掌握，更要从概念关系上加以理解，这是更为重要的。
等式右边是函数在整个区间上的平均变化率，左边是函数在区间内局部某点处的瞬时变化率，这意味着该变形式反映了变化过程中，局部与整体的统一。
片段设计：强调拉格朗日中值定理是局部与整体的统一。
等式右边是导数，左边不再是具体函数值，而是函数，也就是说通过该式我们可以通过导数研究函数相关性质。一开始我说过，拉格朗日中值定理具有承上启下的地位与作用。说它承上是因为它是第二章导数及微分理论知识的延续；说它启下是因为它为我们利用导数工具来研究函数相关性质搭起桥梁，是本章后续章节导数应用的理论基础，比如利用一阶导数刻画函数单调性、极值和最值，利用二阶导数刻画函数凹凸性及拐点，我们借助的都是导数工具，但却成功的刻画了函数的性质，其理论依据便是拉格朗日中值定理。
片段设计：强调在利用导数工具研究函数相关性质时，拉格朗日中值定理是沟通二者的桥梁，是重要的理论依据。
等式右边是关于自变量的增量，左边是函数增量，即是关于增量的表达式；对于函数增量，前面在学习微分时我们有函数增量的近似表达式，即用微分近似计算函数增量△y≈f`(x)·△x，这种近似计算产生的误差，只有当△x无限趋于0时，误差才无限趋于0。但该式是关于增量的等式，给出当函数自变量取有限增量时，函数增量的精确表达式，是等式，而非近似表达。正因如此，拉格朗日中值公式又称有限增量公式。拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
片段设计：以函数增量为研究对象，通过提问，引导学生回顾，在学习微分时我们有过怎样的计算表达方式。适当对比，说明两式各自优缺点。主要从函数增量在实际问题中近似计算与理论研究中精确表达这两个角度分析。
十、定理应用
推论：如果函数f(x)在区间I内的导数恒为零，那么f(x)在I内是一个常数。
几何意义上说，推论结论显然；但要说明这个结论真的正确，其严格的论证过程拉格朗日中值定理避无可避！
片段设计：简单应用，反映拉格朗日中值定理在利用导数刻画函数性质上的独特地位，为后面学习利用导数刻画函数相关性做好铺垫。证明过程要求逐步引导学生：(1)复习导数基本公式：常函数的导函数为零；进一步，研究其反问题。(2)思考函数大小关系比较过程中，常用的数学推理证明方法。
十一、课堂小结
片段设计：三维教学目标维度，全面小结、升华。
1.知识层面：拉格朗日中值定理的内容
一方面，拉格朗日中值定理与罗尔定理关系角度理解；另一方面，拉格朗日中值公式若干等价变形，从概念关系角度理解。
2.思想层面：转化化归，数形结合
证明方法即构造辅助函数，从思想层面把握。为什么要构造辅助函数？因为转化化归，从特殊到一般，我们有罗尔定理，我们想用罗尔定理；如何构造辅助函数？我们通过数形结合思想，通过几何方式加以构造。
3.态度层面：大胆猜测与小心求证
对数学的探索是永无止境的，面对一个具体的问题，我们所用的具体知识及思想方法可能都不尽相同，但是我们对待问题的态度是不变的。牛顿：没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现；韦伊：严格性之于数学家，就如同道德之于人。这种科学的态度通过内化, 反映到实际习惯中，生活上即胆大心细，工作中即有勇有谋。
片段设计：1.数形结合思想贯穿始终；2.问题中心，问题驱动，从问题中来，到问题中去;3.具体：(1)提出问题或发现问题(问题来自对实际的观察、联想、抽象、总结，对定义的深度理解，对定理条件、结论、亦或者证明过程的深度剖析，问题可以来自方方面面，能够发现问题也是一种能力，如何培养发现问题的能力？)(2)分析问题（探索、探究，实验观察，数据模拟分析，归纳演绎，假设猜测）(3)解决问题（推理论证，严格的逻辑思维能力培养）
十二、课后思考
汽车在行进过程中，下午2点从A地出发，下午6点15分在到达目的地B时偶遇交警，并且交警判断驾驶员超速行驶。AB路段全程240公里，限速60公里/小时，路段全程公有5处测速仪器，但均未显示该驾驶员超速，请问交警是如何判断驾驶员超速行驶的，依据又是什么？
片段设计：理论联系实际，从问题中来再回到问题中去，进一步引发学生兴趣及持续思考。
参考文献
[1]同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京:高等教育出版社. 2007