赵小俊
陕西洋县第二高级中学
摘 要：如何在数学教学中提升学生的核心素养，是我们数学教师的永远课题，本文以“利用函数性质判定方程解的存在”为例，让学生体会“函数与方程的统一”，进一步体现数形结合思想。
关键词：核心素养；函数零点；方程的根
【数学素养】数学抽象、逻辑推理
【教学目标】
（1）知识与技能目标
了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点存在的方法；
（2）过程与方法目标
培养学生独立思考,自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合的思想；
（3）情感态度与价值观目标
培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法，形成严谨的科学态度。
【教学重点】函数零点与方程根之间的联系及零点存在的判定定理
【教学难点】探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理
【教学方法与手段】实例引入、探究新知、实践探索、总结提炼、总结、反思。
【使用教材的构想】倡导积极主动，勇于探索的学习方式，运用数形结合、教师引导——学生探索相结合的教学方法，学生亲身经历、感受来获取知识，培养学生观察、发现、抽象与概括、运算求解等思维过程。
【教学过程】
（一）设置情景，导入新课
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（二）引导探究，获得新知
1、函数零点
概念：把函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标称为函数y＝f(x)的零点。
说明：①函数零点不是一个点，而交点的横坐标值。
②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根。
2、函数的零点与方程的根有共同点和区别：（重点讲解）
（1）联系：
①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；
②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点。
（2）区别：零点是对于函数而言，根是对于方程而言。
以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，解决相关问题可互相转化，这正是函数与方程思想的基础。
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2、零点存在基本定理：
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（1）观察函数的图象探索零点存在条件．
①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b) ___ 0（“＜”或“＞”）．
②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c) ___ 0（“＜”或“＞”）．
③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d) ___ 0（“＜”或“＞”）．
（2）零点存在性定理：
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点。即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。
3、例题剖析，巩固新知
例1：判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：
（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点。
（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，
则f(x)在区间(a，b)内没有零点。
（3）若函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a，b)内存在零点。
解析：（（提问学生，引导分析，举出反例）
概括归纳：定理不能确定零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足定理条件时依然可能有零点。
巩固新知
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参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）
[M] .北京：人民教育出版社，2018
[2] 王尚志.普通高中数学课程标准（2017年版）解读[M] .北京：高等教育出版社，2018