直线过定点问题典型分析

发表时间:2021/8/17   来源:《中小学教育》2021年4月第11期   作者:何东
[导读] 在历年的高考数学试题中,解析几何的定值定点问题是常规题型之一
        何东
        达州中学四川省达州市 635000
        在历年的高考数学试题中,解析几何的定值定点问题是常规题型之一,其中直线过定点的问题是近几年的高考热点问题之一,在此分别对椭圆和抛物线两个不同背景给出几个典型案例的对比解答分析,以便提供给同学们一些解法的参考。
一方面、椭圆中的直线过定点问题
        在椭圆背景下的直线过定点的问题中,在设而不求的基本方法指导下通常要注意①直线方程的设法表达选择;②类比运算可有效地化简重复的运算的过程;③观察对象是否具备对称性,若具备,则可利用三点共线可有效地简化直线过定点的解答过程;④目标对象对条件分析方向的影响;⑤特殊条件的特殊模型转化。
    


        评注:反设直线方程表达;类比运算简化解答;利用对称性三点共线转化直线过定点;


        评注:不能使用类比运算;但可利用对称性,三点共线转化直线过定点;

        评注:两条弦的中点连线条件,利用动弦中点轨迹与直线相交转化,这样问题等价转化为常规的直线与圆锥曲线相交,满足斜率定值关系的定点问题。
另一方面、抛物线中的直线过定点问题
        在抛物线背景下的直线过定点问题中,相较于同类椭圆中的问题,抛物线中同类问题有一个非常大的优势:可以单变量设点表达对象;其它需要注意的问题与同类椭圆中的问题相仿。

        评注:单变量设点化简斜率表达;同时回避了通法中的二元二次因式分解变形的难点;

        评注:单变量设点化简运算;三点共线转化直线表达;
     
        评注:两条弦的中点连线条件,利用动弦中点轨迹与直线相交转化,这样问题等价转化为常规的圆锥曲线与直线相交,且斜率之积为定值的直线过定点问题。
        在这里我们简单地比较了在椭圆背景下与在抛物线背景下的直线过定点的问题的条件特点,给出了几点解题参考,希望对大家有帮助;同时我们也明白:当问题的条件发生变化时,合理的解法应当是根据条件的特点,寻求合适的转化路径,法无定法。
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