姜志飞
浙江省舟山市定海区廷佐小学，316000
摘要：曹培英老师在2018年悦远教育上做过专题讲座《深度教学 深在何处》，他指出当前的小学数学教育出现了理论和实践的断层，如何跨越断层走向深度学习，应该尝试将落脚点落在内涵与本质上，落在过程与方法中。《义务教育数学课程标准2011年版》指出，在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要让学生理解程序和步骤的道理。因此，小学数学运算教学中，要引导学生循理入法，让学生不仅知其然，更要知其所以然，达到以理驭法、理法相融的要求。运算教学指向的数学核心素养，主要是运算能力，重点在于对算理的理解。结合曹培英老师深度学习的理念，如何在运算教学的深处扎根，结合自己十几年的教学实践谈几点粗浅的看法：
关键词：小学数学；深度学习；过程与方法
一、理解起步，追求本质
《乘法分配律》是在学生已经学习了乘法加法交换律结合律后进行教学的，它联系了乘法和加法两种运算，沟通了这两种运算之间的关系。乘法分配律是运算单元的教学重点，也是后续学习当中不断被应用的一个知识点，如小数分数的简便计算都会用到分配律，同时会出现乘法对减法的分配律。但从学生实际掌握来看，单单学习乘法分配律情况还好，当乘法结合律乘法分配律综合应用时，常常是将它们混淆成一团。例如图1，是学生在学习过程中会出现的经典错误。所以在教学时，不能只止于
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图1
对乘法分配律外在形式的模仿，更应该理解乘法分配律的本质内涵，搭建生活数学走向学科数学的桥梁，让学生学习触及数学的本质，走进知识的内核。结合曹老的讲座和人教版教材内容，在教学上做如下改进：
1.旧知复习，凸显差异
①35+45=（ ）+（ ） 应用（ ）定律
②35+45+55=（ ）+（ ）+（ ） 应用（ ）定律
③35×45=（ ）（ ） 应用（ ）定律
④35×25×4=（ ）×（ ）×（ ） 应用（ ）定律
师：刚才这4题中，①和②都是关于加法的运算，③和④都是关于乘法的运算，加法运算和乘法运算之间会有什么联系呢？（从一开始关注差异，凸显对比，强调乘法分配律是乘法对加法的分配律）
2.多元表征，理解本质
出示例题8（图2），学生自主探究得到2种不同的算式，并发现这2个算式结果相等：（4+2）×25=4×25+2×25.
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图2
师抛出核心问题：为什么会相等？
预设学生回答：①会根据实际意义来说明：每组有6人，乘25个组，求出总人数或25个组负责挖坑种树的人数加上25个组负责抬水浇树的人数，求出总人数。
②会根据乘法意义来说明：左边是6个25，右边是4个25加2个25，左右相等。③会根据几何意义来说明：见图3
师：像这样左右相等的式子你还能写出一些吗？
反馈学生不同的等式，并要求学生用乘法的意义来说明左右相等。
师追问：还要举例吗？为什么？
最后一问是一个将思考引向深处的问题，一方面通过大量的举例，学生会直观发现两个数的和与一个数相乘，可以把它们与这个数分别相乘，再相加。可以用字母表示（a+b）×c=a×c+b×c。另一方面，在举例并用乘法意义来说明左右相等，实际上把几个几拆分成几个几加几个几。最后教师将乘法分配律用几何图直观呈现（图4），通过文字表征、符号表征、图形表征等多种形式，将新学的乘法分配律与原有的知识经验进行对接，让学生的理解不单单停留在表层的记忆和模仿，而是对乘法分配律的深度理解。
二、经历过程，探究算理
在传统的计算教学中，教师会比较关注计算的方法技能、计算的正确性以及熟练程度，对算理关注的力度不大。例如305×60，43×218，,240×16等常规题，学生计算的正确率往往可以达到95%以上。而回答144×25的第二步计算144×2=288中的288表示什么，正确率比较低下。这个现象也引发了我们的思考：不明白“理”，学生能得到“法”吗？靠反复的操作、反复的训练，笔算的技能是不是就能形成运算的能力？所以我在教学中尝试多管齐下，把教学的方向从关注知识转移到培养能力上，注重让学生经历有过程的探究，真真切切地去理解算理。《两位数乘两位数》这节课，学生学习的基础是两三位数乘一位数，后续会学习三位数乘两位数的笔算。三位数乘一位数笔算的积只有一层，而两位数乘两位数笔算的积有两层。两层积是学生认识上的一次非常大的跨越，其中积的对位问题是非常关键的。所以我们的教学应该针对这样的难点进行相应的指导和训练。
出示例题（图5），学生列出算式：14×12
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图5
师：你能估计一下结果大约是多少？
生：把14看成10,12看成10，10×10等于100，所以结果比100大。
师：14×12究竟等于多少？你想怎么算？把算法写下来。
有序反馈学生不同算法：
方法1：14×6=84 84×2=168
方法2：14×2=28 14×10=140 28+140=168
方法3：见图6
方法4：见图7
师：方法1和2都是用口算的方法，得到结果都是168。方法3和4都是用笔算的方法，得到结果却不一样。比较方法3和4，你同意谁的？说出理由
学生经过交流后，一致认为方法4是错误的，原因是第二步积14位置错误。
师追问：你能结合图形来说一说，积应该怎么对位？（出示图8）
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图8
生：第一步积2个“一”乘14，得到28个“一”，对个位。第二步积1个“十”乘14，得到14个“十”，也就是140，这里的0可以省略，所以14对“十”位。
……
师：比较方法2和3，你发现了什么？
生：他们结果都是一样的，笔算和口算的第一步都是14×2，第二步都是14×10，最后将两步积合起来。
给学生独立探究14×12的空间，利用学生呈现的4种算法来推进课堂，教师先肯定1和2两种算法的正确性，在方法3和4的对比辨析中，结合图形直观理解第二步积算什么以及书写格式的由来。在整个过程中，让学生充分经历整个笔算方法探索的过程，有效突破“第二步积对位”难点，同时沟通笔算和口算算法的联系，做到算法和算理融合，达到主题图、横式算法、竖式算法三者统一。
三、新旧对比，沟通算法
长期以来，教师已然习惯于根据教材编排，一个知识点一个例题一组练习匀速运动的教学方式，形成了备一节课、上一节课、评一节课的思维惯习，这样“点状式”的教学行为很容易导致学生认知的割裂和学习的被动。有意义、有生长力的课堂教学，需要根据学生成长的长程过程进行整体性的系统策划和关联性的结构教学，对新旧知识点进行对比联系，沟通不同计算方法之间的联系，努力变点状式教学为结构式教学。《同分母分数加减法》是人教版五年级下册第五单元的内容，这部分内容是在学生学习整数，小数加减法的意义及其计算方法基础上进行教学的，为异分母分数加减法的学习打好阶梯。按照常规的教法，同分母分数加减法的计算方法比较简单，教学的重点会放在对算理的探究上：为什么分母不变，只要分子相减法？原因是因为分数单位相同，所以可以合并相同的分数单位。教学到这一步，多数老师们认为这节课的新知教学任务已经完成，接下去就是对算法技能的熟练巩固了。联系以前学过的整数加减法、小数加减法，今天学的分数加减法有没有相同之处？我认为根据教材的安排（图9）可以作这样的改进：
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图9
师：今天学了同分母分数加减法，以前学过整数、小数加减法，你觉得他们在算理上有什么相同点？
学生比较迷茫，一下子找不到这三者之间的联系。
教师出示这3种计算的具体过程（图10）后，先引导学生观察，然后追问：它们都是怎么算的？
生：①号整数加法在计算时要相同数位对齐，②号小数加法也是一样，③号分母不变，分子相加。
师用手指着①号②号中的数位对齐，继续追问：为什么要相同数位对齐？
生1：相同数位表示相同的计数单位。
生2：只有相同的计数单位才能合并，不然数的大小会发生变化。
生3：原来这3种计算方法都是用到了相同计数单位相加或相减。
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图10
改进后的教学过程，不仅关注到算理的探究，而且能前后联系，找到整数、小数、分数加减法这三者之间的本质联系：相同计数单位的合并。运算教学的目标不仅仅要指向认知的单点结构水平，还需要沟通之前所学的多点结构水平，找到他们之间的联结点，深度挖掘，实现认知的关联结构水平，为学生的终身学习奠定基础。这样的教学，是在教师引导下，学生主动投入，深度理解、建构、迁移的学习过程、状态和结果，真正实现有意义的学习。
运算教学不是重复练习，不是机械练习，而是在知识的本质与内涵上扎根，在法理相融、激发兴趣、运算习惯等方面下功夫，是追求提升学科内涵、发展运算能力的教学。