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基于“二次根式”教学实践落实核心素养

发表时间：2021/9/3 来源：《中国教师》2021年9月作者：陈琳尔

[导读] 基于学习“二次根式”的相关内容，挖掘数学教学内所包含的数学核心素养并渗透在教学过程中。“二次根式”的学习主要包含了数学运算能力和逻辑推理能力，以层层递进设问的形式引导学生学习“二次根式”，并且解决相关二次根式的问题，培养学生能自主发现问题，分析问题，并最终能够解决问题的综合素质。

陈琳尔嵊州市初级中学
【摘要】基于学习“二次根式”的相关内容，挖掘数学教学内所包含的数学核心素养并渗透在教学过程中。“二次根式”的学习主要包含了数学运算能力和逻辑推理能力，以层层递进设问的形式引导学生学习“二次根式”，并且解决相关二次根式的问题，培养学生能自主发现问题，分析问题，并最终能够解决问题的综合素质。
【关键词】核心素养；逻辑推理；数学运算；二次根式
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2021）9-033-02

        1 引言
        开方运算是基于乘方运算的基础上定义的，是乘方运算的逆运算，在定义域范围内，乘方运算是对于全体实数可进行运算，而开方运算，则基于使得运算有意义，对于数的定义域范围有所要求，在整个实数集内无法对负数进行开偶数次方的运算。基于此特征，要将实数的定义域扩充到复数范围内。在开放运算中，对于学生而言，初中阶段最先接触的是开平方运算，其中恰好蕴含了负数无法进行开平方运算的问题，从而奠定了二次根式在开放运算中的一个重要位置，基于认识学习“二次根式”，达到对于学习实数开方运算的研究。
        2 “二次根式”的学习所蕴含的数学核心素养
        从有关于数学的核心素养来研究，“二次根式”这一部分的内容包含了以下两部分的数学核心素养：(1)逻辑推理素养；(2)数学运算素养。以二次根式为载体对于这两个重要的核心素养进行培养落实。
        2.1 逻辑推理素养
        二次根式概念的形成，是基于乘方运算，以及开方运算得来的，基于平方根的有关问题以及推理规则，逐步发展与构建相应的概念体系。由算数平方根的概念，可进而推理得到二次根式。在数学的角度，二次根式的运算也是与代数、几何、概率等方面的数学知识有着紧密的联系，而开平方运算作为开方运算的基础运算，进行入手来研究开方运算。二次根式概念的建立，是从已有知识体系中不断衍生，逻辑推理得到的，培养学生不断提出问题、分析问题、解决问题的能力。在这一个过程中，需要学生由严谨的归纳思维能力以及类比的思维能力。通过不断地学习，从而培养学生严谨地逻辑推理能力。
        2.2 数学运算素养
        开平方运算是初中数学运算中一个重要运算法则，也是一个难点。对于学生学习代数、几何、概率等方面都有所涉及。对于一种新定义地运算，学生需要将这一认知，与之前的学习认知进行对照类比，将这二次根式的定义。学生根据开方运算得到的二次根式代数式结构，进而更好地理解这一定义。在之前四则运算的基础上，加入了二次根式的运算法则，从而不断地更新有关于数的运算与整理。在学习了二次根式，以及其运算的基础上，把学生认知结构中建构的四则运算体系作为“生长点”，基于二次根式的结构特征和数学意义，可以进一步地认识4次根式，6次根式等偶数次根式，进而进行对于偶数次方更系统性地学习与整理。以此培养学生能够进行自我总结的能力，培养学生熟练地运用新知解决问题，培养学生的数学运算素养。
        3 基于数学核心素养的教学实践与分析
        基于学习“二次根式”的教学，从以下教学设计和教学实践进行突破。通过提问思考的形式进行“二次根式”的学习，通过对于一系列有关于“二次根式”的问题的提出分析、解决，培养学生自主探究与学习的能力。
        3.1 课堂导入
        问题1:解一元二次方程
        题2:在直角三角形ABC中，
        教师提问:请根据已有的知识完成上面的填空内容。
        学生1:利用了配方法解决该一元二次方程，解得.
        学生2:利用勾股定理.
        学生3:由方差、标准差的概念解得方差.
        教师：结合“二次根式”的学习以及填写的内容，同学们对以上有关于二次根式的运算还有哪些思考？
        学生4:以上三个问题都是从不同的学习角度与二次根式的运算学习建立起联系来，问题1是基于一元二次方程的背景，属于代数的问题，问题2的背景是基于三角形的背景，数学几何的内容，问题3的背景是基于方差、标准差的概念背景，属于概率的内容。以上三个问题都与二次根式的运算有所关联，又是基于二次根式的学习解决以上数学问题。
        教学分析：利用以上三个问题的设置从代数、几何、概率三个方面的问题，二次根式的运算应用于数学学习的方方面面，一定程度上揭示了认识、学习“二次根式”的重要性，此外这三个问题都是有关于开平方问题的运算，进一步呈现了开方运算的重要性，让学生进一步体会到总结一类运算的重要性，因此基于开平方运算，进而更加深度地学习开方运算，从而进行总结，并应用于解决各方面的数学问题之中。

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        3.2 建立概念
        问题:以上三个问题中的填空内容是，这三个数与我们之前所认识的有理数存在着不同，那么他们之间存在着何种数学特征呢？
        学生6:以上三个数都含有根号，并且根号里的数都是正数，这三个数都是根号里数的算术平方根。
        教师:从结构上发现这三个数都含有二次根号，也就是都开了2次方，因此这些数都可以叫做某一个数的算术平方根，因此我们可以将这一类数，这一类数都是一些正数的算数平方根。因此，一般地，我们把形如
        教学分析：对于以上三个问题，所得出的三个新的数，引导学生对于这类数找共同的特征，从而进一步给出相关的定义概念，引导学生独立思考，对，三个式子的数学特征进一步地进行观察、比较、分析，培养学生自主概括的能力，归纳这类数本身所具有的属性，利用属性去解决新的问题。从而培养学生利用这种能力对于一些新的概念能够进行自我总结，提炼出重要的概念，然后利用这些概念去解决一些相关的数学问题。
        3.3 学习二次根式
        问题:你还可以例举哪些二次根式的例子？
        学生:例如这些数都可以叫做二次根式，只要满足二次根式的概念的这些数都是。
        问题：对于学习二次根式，大家还能提出哪些有建设性的问题？
        学生:这个数存在吗？当有意义吗？
        教师：这个问题提得非常好，你是如何思考的呢？你为什么会想到提出这个问题呢？你自己的想法是怎么样的？
        学生:根据二次根式的定义，被开方数要求中被开方数是负数，则不满足二次根式的定义，则不是二次根式。
        教师：这个同学所提的问题，非常具有意义，对于二次根式中被开方数的取值范围认识地非常全面，也找到了要令二次根式有意义的重要前提是，被开放数是个非负数。因为任何数的平方一定是个非负数，因此也就是只有非负数才有平方根，对于负数而言，没有平方根。
        教学分析:建立“二次根式”的概念是让学生利用以上三个数，找其共同特征，从而归纳特征，在此基础上要研究二次根式的本质属性，即表示的是一个书的算数平方根，因此基于此属性，二次根式的被开方数要求是非负数。为全面掌握二次根式的有关概念，教师让学生具体相关二次根式，通过具体的例题，分析以及辨别二次根式。
        3.4 应用概念
        其中一定是二次根式的有哪些？
        例2 当x的取值范围为何值时，二次根式有意义？
        例3 当x的取值范围为何值时，使得有意义？
        3.5 总结
        （1）通过今天的学习，你学习到了怎么样的式子可以称之为二次根式？二次根式的被开方数要满足什么条件？
        （2）结合以上学习，有关于二次根式的运算，可以与代数、几何、概率等方面建立起联系来，认识到二次根式的运算对于解决许多数学问题有着至关重要的作用。
        （3）从本堂课的二次根式的研究之旅中，你收获了怎么样的学习方式与方法？以后遇到类似的问题，你是否能举一反三地去解决相关问题？
        4 教学反思
        4.1 逻辑推理素养是重要的数学核心素养
        逻辑推理能力是基于对于一些实际数学问题的解决的体现，基于平方根的概念学习，运用原有知识结构中的逻辑思考，并且进一步更新自我的认知体系，通过对于新的数的认识，可以总结归纳这些数的特征，并且得到相应的二次根式的相关概念。并利用例题的设置熟练地掌握相关二次根式的概念，并通过例题启发学生，二次根式的运算以及学习，并不是单纯的一方面而已，数学的学习具有连贯性，二次根式的运算与代数、几何、概率等方面的解决都有着重要的联系。因此启示学生对于各方面的学习都应该具有系统性，学生通过老师的启发，能够培养严谨的逻辑思维能力，并能将这一能力应用于今后的学习之中去。
        4.2 数学运算素养是重要的数学核心素养
        数学运算能力对于解决数学问题十分重要，数学运算能力是基于对“二次根式”定义理解的基础上，加以实质性的应用，依据开平方的运算探究二次根式的本质。数学运算素养重要的并不只是运算，重要的是二次根式本质的形成过程，这才是掌握数学运算素养的本质。利用掌握了二次根式定义的本质来解决相关的问题即使真正对于概念的熟练运用与熟练理解。
        4.3 利用实践落实数学核心素养
        把数学核心素养进行落实，利用例题的实践培养学生的逻辑推理素养、运算素养，在该过程中需要老师结合典型例题设计，以及针对学生在此基础水平上的认知进行相应的教学设计。此类学习的重要意义在于，启发学生如何进行该类型的自主学习，给了学生如何去探索的方法与路径，通过学生的深度探究，才会获得相应的结论，通过学生对于该方面知识的自主理解与探索、领悟，在探索的过程中领悟学习的有关定义、定理等，培养学生自主学习、探究问题的能力，培养学生能自主提出问题、分析问题，并且解决问题的能力，从而在此过程中落实数学核心素养。
参考文献:
任春草.“二次根式的定义”教学实践与探索[J]，2020(2)：5-14.
章飞.“二次根式”的教学实施建议[J],2021(3)：6-11.
刘欣.任务驱动深度参与活动助推素养落地[J],2020(1):1-13.