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有关高考函数零点问题的求解及备考建议

发表时间：2021/9/3 来源：《中国教师》2021年9月作者：刘冰

[导读] 新课标颁布后，高考中函数零点问题的考查开始作为一个新的知识考查点出现在高考数学的考察范围内。关于函数零点问题在高考中的考察方式，一般都是以独立大体的方式进行考察的，这意味着这部分知识内容不仅在考查力度不断的加大，对于学生数学成绩的影响也是非常显著的。因此，本文通过具体的例题分析，探讨高考题目中与函数的零点问题科学的解题方式，为科学的针对函数零点问题的备考提供帮助。

刘冰黑龙江省克东县第一中学
【摘要】新课标颁布后，高考中函数零点问题的考查开始作为一个新的知识考查点出现在高考数学的考察范围内。关于函数零点问题在高考中的考察方式，一般都是以独立大体的方式进行考察的，这意味着这部分知识内容不仅在考查力度不断的加大，对于学生数学成绩的影响也是非常显著的。因此，本文通过具体的例题分析，探讨高考题目中与函数的零点问题科学的解题方式，为科学的针对函数零点问题的备考提供帮助。
【关键词】高考；函数零点问题；求解；备考
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2021）9-107-01

        引言：
        函数零点问题的解答，在高中阶段的数学课程教学中是非常关键的一部分教学内容。结合具体的题目类型找到科学的解题方法，是应对高考中不同的涉及到函数零点的问题题目，做好高考备考的关键问题。
        一、高中函数零点问题考查趋势
        从题目呈现的形式上来讲，关于零点问题的考核方式，所能够涉及到的题型是具有多样性特征的[1]。例如函数与方程、分类讨论题目、数形结合思想指导下的题目、与化归思想相结合的题目中，都能够以函数零点问题的解决作为题目呈现形式。可见高中课程教学中函数的零点问题的题目形式是多样的，这也从侧面反映出在新课标的背景下，高中函数的零点问题已经成为高中阶段函数课程教学中的重点内容。
        二、函数零点问题的相关定理分析
        （一）关于零点所在区间的判断
        在判定零点所在的区间是，需要利用零点的存在性定理去解决问题。关于存在性订立的具体内容，即如果函数y=f（x）的图像在固定的区间[a，b]上是以一条连续不断的曲线存在的，且函数之间存在关系f（a）.f（b）<0，那么就有y=f（x）的区间内存在函数值为0的点，这也就意味着存在一个数值c∈（a，b）满足f（c）=0的条件，由此可得，c为方程f（x）=0的一个根。下文列举具体的高考例题进行分析，探讨零点所在区间的判断方法。
        例1x0为方程lgx＋x=2的根，求解x0的所在区间（）。
        A（0，1）B（1，1.25）C（1.25，1.75）D（1.75，2）
        在此题目中，需要先按照一直条件将函数的形式构建出来，即构建函数f（x）=lgx＋x－2，随后结合本题目的选择题性质，将不同的数值区间带入到具体的函数方程中解题，解题过程中带入可得f（1.75）=f（）=lg－<0，f（2）=lg2>0。由此可知x0的所在区间为（1.75，2）判断此题选择答案D。
        （二）关于零点存在个数的判断
        关于零点个数的判断方法，在现阶段的解题方法中有几个典型的代表，即第一，直接通过求解方程得到函数的零点位置，最终判断零点的个数[2]。第二，结合具体的函数图像，通过观察和结合已知条件的分析进行零点个数的判断。第三，按照零点存在性的定理内容判断零点的存在个数，在利用这种方法进行判断时，要考虑同时结合函数的单调性这种性质做出题目的判断。关于结合单调性的函数零点判断方面，满足的具体条件是，函数y=f（x）在固定区间[a，b]上的图像显示为一条连续不断的曲线。

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且在区间（a，b）上存在单调性，即满足f（a）.f（b）<0,则可判断函数在固定区间（a，b）上有且只有一个零点存在。
        例2判断函数f（x）=x2＋2x=3，x≤0与函数-2＋lnx，x>0联立的方程的零点个数。
        A，0个，B，1个，C，2个D，3个
        解题时，选用筛选带入的方法，设置x≤0时，令x2＋2x—3=0，由此可解得x=-3。在x＞0的情况下，设-2＋lnx=0，求解可得x=e2，由此可知函数存在的0点个数为2个。通过筛选可知，答案选C。
        （三）在确认了零点个数的前提下，求解相关参数的取值范围
        在零点个数确定的情况下，相关参数的确定一般可以通过绘制和观察函数图像的形式得到结论。基于这种观察和思考解答方法，题目的解答中可以运用数形结合的思想解题。
        例3已知条件，函数f（x）=sin（wx＋φ）（w>0,0<φ<π）的函数周期为π，图像中其中一个对称中心的坐标为（，随后，即可得到函数图像。从题目观察，本题目的解题过程中涉及到的知识有三角函数知识、函数零点知识等，题目考察的重点在于，观察分析学生对于函数与方程的关系，以及数形结合思想的理解和应用能力。
        三、函数零点问题的高考备考建议
        （一）结合具体题目类型选择适当的解题方式
        从上文的分析中可知，围绕着函数零点问题的知识点考察在实际中可以通过多种不同的题型进行呈现，结合实际观察也可知，不同的题目类型在分析和解题中所运用的方法也会有所不同，对于已经存在备选答案的选择题来讲，函数的零点问题解答可以通过带入判断的方法来完成，而当零点判断问题以独立的大题形式存在时，学生就应当注意在解题中注意综合运用多种数学解题思路和方法，从而按照大题的具体问题层次，选取不同的解题思路和方法完成解题过程。
        （二）复习阶段结合具体的题目类型做好针对性训练
        围绕着函数的零点问题，实际上存在多种不同类型的具体题目，不同的题目类型在解题的步骤和方法上都是有所差异的。为了帮助学生适应多种不同类型函数零点问题的形式，教师可以在日常复习中集中整理出不同类型的，以考察函数零点知识点为代表的题目类型，从而通过采取针对性训练的方法，达到提升学生对这部分知识点的熟悉程度和对具体题目的解题能力的目的。为了减低学生在题目专项训练中的枯燥感，教师可以结合具体题目类型，在讲解中融入利用一部分辅助教学工具，达到提升函数零点问题的良好解决的目的。
        （三）注重零点问题知识与其他数学知识的融合应用
        这一点主要是针对零点问题的解答与三角函数问题进行融合后提出的解答方式，教师在指导学生进行零点问题解答的针对性训练时，要注意与例如三角函数、函数单调性等方面的知识进行融合应用，这就对学生的数学与综合分析和应用能力提出了较高的要求。而这也是新课标背景下对学生的数学知识学习提出的新要求。
        总的来讲，在函数零点问题的解答中，教师应当注重结合具体的题目类型找到适当的引入讲解方法，从学生的角度上来说，其应当从理论知识入手，通过系统而学习为这部分知识和相关的问题有一个更加细节和准确的了解。为题目的解答提供帮助。
参考文献：
[1]李成永.函数零点问题题型与求解策略[J].高中数理化,2017(z2):36-36.
[2]张自鹤.函数零点问题的题型归类及解题策略[J].教学考试,2018(11).