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中考数学函数与几何综合题备考策略及教学建议

发表时间：2021/9/3 来源：《中国教师》2021年9月作者：郭兴淑

[导读]

郭兴淑云南腾冲市第一中学
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2021）9-161-02

        一、题型分析
        二次函数与几何图形的综合题通常设3问，第一问主要是二次函数解析式及点坐标的求解，第二、三问就会涉及探究性问题，综合性强，难度较大，解答时往往要用到分类讨论和数形结合的思想。
        类型一：探究特殊三角形的存在性
        特殊三角形：等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形、等边三角形等。
        此类题常给出固定的两点，以求另外一个动点使三角形为特殊三角形。一般步骤为：
        1、假设点存在并根据动点满足的条件设出点的坐标；
        2、分别用所设的变量表示出三个点的坐标，进而用两点间的距离公式表示出所求三角形三边的线段长度；
        3、再根据三角形的特殊性的性质分情况列出方程解出点的坐标。
        注：若上述方法不能解决，也可适当作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系。
        类型二：探究特殊四边形的存在性
        特殊四边形：平行四边形、菱形、矩形、正方形等。
        此类题中常给出固定的三点或两点，以求一个或两个动点使四边形为特殊四边形，一般步骤为：
        1、先假设结论成立，从而设出点的坐标，表示（求出）边长；
        2、建立关系式并计算：（1）若四边形的四个顶点位置都已经确定，可直接利用四边形的性质进行计算；(2)若四边形的四个顶点位置不确定，则需分类讨论：①以已知线段为平行四边形的某一边，画出所有符号条件的图形，利用平行四边形的性质建立关系式进行计算；②以已知线段为平行四边形的对角线，画出所有满足条件的图形，利用平行四边形对角线互相平分（中点坐标不变）建立关系式进行计算。
        探究菱形、矩形、正方形时，思路与探究平行四边形一致，只需在计算时结合自身特有的性质即可。
        类型三：探究相似三角形的存在性
        此类题一般给出一个已知三角形，求是否存在点使得另一个三角形与已知三角形相似，通常不会明确指出两个三角形的对应角、对应边，所以解答时要具备分类讨论和数形结合的思想，一般步骤为：
        1、假设结论成立，同时确定已知三角形的形状（三边的长度或内角的度数）
        2、观察动态三角形中是否存在与已知三角形相等的角，若存在，分两种情况讨论相等角的两夹边成比例即可或题目中给出了一组对应边，也只需分两种情况讨论另外两条边成比例即可；
        3、若动态三角形与已知三角形既没有相等的角，也没有对应边，则分三大类情况讨论。
        类型四：探究图形面积数量关系的存在性
        此类题常涉及面积最值问题和两图形面积数量关系的问题。一般步骤为：
        1、设出动点的坐标，观察图形的特殊性（边与坐标轴重合或平行、是否有直角等）若没有特殊性，则作辅助线（如过动点作坐标轴的平行线）将图形分割为多个特殊图形，求其和就可得出图形的面积；
        2、若是图形面积的最值问题就在第1的基础上构建函数来解决；若是两图形面积数量关系的问题就在第1的基础上再利用面积公式或多边形相似的性质求出有关的线段长或面积的代数式，从而列出方程求解。
        类型五：探究线段数量关系的存在性
        此类题中常涉及线段的最值问题、线段和的最小值、周长的最值以及线段间的数量关系等。

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        1、线段的最值问题一般这样处理：设出动点的坐标，利用两点间的距离公式、点到直线的距离公式等求出函数解析式，再利用函数的性质求其最值；
        2、求“两定点，一动点”型的线段和或三角形的周长的最小值，通常转化为最短路径问题，利用“轴对称的性质”来解决。（即：纯粹通过几何作图的方式来找到动点。）
        3、周长的最值问题一般这样处理：设出动点的坐标表示出组成图形的线段的代数式，从而列出图形的周长的函数解析式，再利用函数的性质求其最值；
        4、求解线段间的数量关系问题时，常利用三角形全等、三角形相似或勾股定理来表示出线段长，从而得出线段间的数量关系。
        类型六：探究与圆有关的问题（此类题型应该重点复习）
        此类题解决时一般要注意以下几点：（2015年曲靖）
        1、圆和抛物线都具有对称性；
        2、圆的切线的性质和判定方法，（不管是“圆动线定”还是“圆定线动”都可以让学生动手操作找到直线与圆相切时的几种位置，再解答。）
        3、垂径定理、勾股定理、三角形相似、三角函数、点到直线的距离等知识的应用。
        二、教学建议
        1、因材施教，对最后一个大题特别是第（3）小题不要要求所有同学都做，否则就会“因小失大”，对那些不能正确评价自己的同学带来困扰。而对数学素养较好的学生，我们可以给他们“开小灶”，这样无形中给了他们信心，对攻克中考难题也有一定的好处。
        2、指导学生精准读题，紧抓“我能做什么？我要做什么？二者的桥梁在哪里？”三个问题进行思考。
        3、平时学生做题、教师讲题都要注重数学的特点（简明扼要），让学生养成答卷时语言精炼准确，不要因为一些可有可无的解题步骤丢分。
        4、提醒学生精准计算，不要因为一步错，步步错，特别是在函数与几何的综合题型里。
        5、在复习的过程中，不能占用大量的时间去应付只占整卷10%的最后一个大题的类型，不能盲目追“新”求“难”，忽视基础，应当把功夫花在夯实基础、提高分析和解决问题的能力上，自然“量的积累就会导致质的飞跃”。
        6、补充一些初高中的衔接知识：
        (1）若A(x1，y1 ) ，B(x2 ，y2)为平面内的两点，则线段AB的中点坐标为，
        A ,B两点间的距离为
        （2）若直线l1： y= k1x+ b1，直线l2： y= k2x+ b2，则l1// l2时，k1= k2；ll⊥l2时，k1·k2=-1
        7、介绍整理一些使用频率虽然不高，但往往在解题中起关键作用的知识点：
        （1）如右图，在直角△ABC，BD使斜边AC上的高，则
        ①AB2=AD·AC；
        ②BC2 = CD·CA；
        ③BD2 = AD·CD；
        ④AC2 = AB2+BC2；
        ⑤AC·BD = AB·BC；
        （2）如右图，边长为a的等边三角形的高为，面积为.
        （4）如图6，BE，CE分别为△ABC内角∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BEC=900+∠A。
        如图7，BE，CE分别为△ABC的外角∠DBC和∠FCB的角平分线，则∠BEC=900-∠A。
        如图8，BE，CE分别为△ ABC的内角∠ABC和外角∠ACM的平分线，则∠BEC=∠A。
参考文献：中考复习资料《面对面》