曾立梅 湖南省益阳市桃江县第一中学 湖南 益阳 413400
【摘要】2021年高考数学全国一卷第21题可以从三个不同的角度进行多解，下面就是具体的三种新颖解法。
【关键词】高考；数学；解法
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-2051 （2021）9-158-03
原题：在平面直角坐标系中，已知点点满足记的轨迹为.
求的方程;
设点在直线上,过点的两条直线分别交于两点和两点,且求直线的斜率与直线的斜率之和.
本题考查了双曲线的轨迹方程以及斜率、线段、坐标的翻译，需要考生对双曲线定义有严格的把握，并有良好的数学运算素养。下面我来谈谈该题第二小题的三种较为新颖的解法。
方法一：利用二次曲线系方程求解。
解：由已知可设直线的方程为：，直线的方程为：，显然，由此可设过点的二次曲线系方程为为参数）
化简得：
四点共圆，
这种方法运算量小，充分利用了初中学的圆的切割线定理和高中学的圆的一般方程的特征这两个知识点，达到了化繁为简的目的，不失为一种巧妙的方法。追本溯源，2002年广东卷、江苏卷，2005年的湖北卷，2011与2014全国大纲卷，2016年四川文数卷都考过二次曲线上四点共圆问题。
方法二：利用坐标平移求解。
解：将直角坐标系的原点移到点，则曲线的方程化为：，此时可设直线的方程为直线的方程为显然
联立
知，得
设点, 则而
，
同理可得，,
，
即,化简，得
值得注意的是，此法的后半部分还可用函数与方程的思想来解答：
函数法：令则为偶函数，且在
上单调递减。又，
又
方程法：令即
则是方程的两个相异实根，
这个坐标平移法大大简化了直线AB或PQ的方程，虽然双曲线的方程复杂些了，计算量还是比不平移坐标原点要简单多了。
方法三：利用直线的参数方程求解。
解：设点，直线为将
代入轨迹C的方程中，得：
理，得：，
则
设直线为 同理，得：
，又，从而，
因此直线的斜率与直线的斜率之和为0.
这种解法的灵感来自于旧教材选修4-4“坐标系与参数方程”的第38页例4：如下图（1）所示，是中心为点的椭圆的两条相交弦，交点为.
两弦与椭圆长轴的夹角分别为,且.
求证:.
证明:如上图（2）建立平面直角坐标系,设椭圆的长轴、短轴的长分别为，
则椭圆的方程为 ①
设，点的坐标为，则直线的参数方程为
②
将②代入①并整理，得到
③
由于，由已知直线与椭圆有两个交点，因此方程③
有两个根，设这两个根分别为，容易得到
同理,对于直线,将换为,即得到
因此得到.
显然,如果把椭圆改为双曲线,会有类似的结论.
这种采用直线的参数方程求解该题充分利用了直线的参数方程中参数的几何意义，对于新旧教材的交替起了承上启下的作用,体现我们的高考试题源于教材又高于教材的宗旨.
有趣的是,这个高考题的结论可以推广为:点可以为任意一点(不一定要在直线上),曲线可以为椭圆或抛物线.
更值得探究的是:若点在圆锥曲线上,直线的倾斜角互补(也在曲线上),则有什么性质?我们不难得到的性质:的内心始终在过点且与轴垂直的直线上(略证:因为直线的倾斜角互补,所以直线的斜率之和为0,因此直线关于过点且与轴垂直的直线对称,即的角平分线在过点且与轴垂直的直线上,所以的内心始终在过点且与轴垂直的直线上).垂心、重心、外心是否分别在一条定直线上呢？请读者探究.
以上就是2021年高考数学全国一卷第21题的第二小题的三种新颖解法,希望能与读者一起分享.
参考文献
[1]陶长叶.探究高考数学坐标系与参数方程的解题策略[J].中学生数理化(高考数学),2021(06):10-12.