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《点和圆的位置关系》教学案例

发表时间：2021/9/3 来源：《中小学教育》2021年8月1期作者：王绍雄

[导读]

王绍雄湖北省兴山县黄粮镇初级中学 443706
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982 （2021）8-041-01

        一、教材分析：
        24.2.1节研究点和圆的位置关系，在学完圆的定义、圆的相关性质之后，探究圆中的位置关系。首先是探究点与圆的三种位置关系，认识圆上的点到圆心的距离都等于圆的半径。因此容易得到:圆内的点到圆心的距离小于半径，圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的点的集合;圆外的点到圆心的距离大于半径，圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集相对应:由位置关系可以确定数量关系，同样由数量关系可以确定位置关系。教材接下来也用等价符号给出这种对应关系。教材研究经过不在同一直发量上的三点作圆的问题，得出“不在同直线上的三点确定个圆”的重要结论，又结合证明过一直线上的三点不能作圆正式提出反证法。
        教学目标：理解点和圆的三种位置关系，并会运用它解决一些实际问题；会过不在同一直线上的三个点作圆，理解三角形的外心和外接圆的概念；结合本节内容的学习，体会数形结合、分类讨论的数学思想．
        教学重点：点和圆的三种位置关系；过三点的圆。
        教学难点：点和圆的位置及数量关系。
        二、教学过程
        （一）导入新课，探究点和圆的位置关系。
        1、探究1      学生看教材24.2-1。
        教师：我国射击运动员在奥运会上屡获金牌，为祖国赢得荣誉．你知道运动员的成绩是如何计算的？
        学生：计算射中的环数。
        教师过渡：解决这个问题，我们研究点和圆的位置关系。
        学生依据自学判断图1中，点A在             ；
        点B在           ；点C在            。
        教师：结合上面的问题，你能试着说出点和圆的位置关系有      、     、      三种。　　
        学生：点在圆外、点在圆上和点在圆内。
        教师：对于点和圆的位置关系，能从数量关系的角度进行刻画吗？　
        学生：能。
        教师：用什么数量来刻画？
        学生：圆的半径和点到圆的距离这两种量。
        （二）讲授新课
        1、设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d，则有：
        点 P 在圆外　　 d＞r ；　　点 P 在圆上　　 d=r ；　　点 P 在圆内　　 d＜r ．
        符号“     ”读作“等价于”表示从符号左边可以推出右边，从右边可以推出左边。

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        例1　已知⊙O 的半径为 5，圆心 O 的坐标为（0，0），若点 P 的坐标为（4，2），点 P 与⊙O 的位置关系是（    ）．
        　A．点 P 在⊙O 内　　B．点 P 在⊙O上
        C．点 P 在⊙O 外　　D．点 P 在⊙O 上或⊙O 外。
        2、探究2
        教师：画出一个圆，关键是确定哪两个条件？
        学生：圆心和半径。
        教师：我们知道，已知圆心和半径，可以作一个圆．经过几个已知点，可以作一个圆呢？
        根据下列三种情况探究，圆心分布有什么特点？
        ①过点A作圆；       ②过、AB两点作圆；            ③过A、B、C三点作圆
        归纳：在图（1）中可以画无数个圆；在图（2）中可以画无数个圆，圆心在AB垂直平分线上；在图（3）中可以画一个圆，根据圆心到A、B、C三点的距离相等，怎么找圆心？
        找圆心的依据是：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。所以，要作出AB、BC的垂直平分线，它们的交点就是圆心。
        经过不在同一直线上的三个点确定一个圆。
        3、探究3：（1）学生自读教材P94页，完成练习题：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫三角形的外接圆，
        外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。
        （2）在下图中画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆.
        教师指导学生作图后归纳：锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心是斜边上的中点；钝角三角形的外心在三角形外。
        例2 画出所有到点 O的距离大于或等于2㎝，并且小于或等于3㎝的点组成的图形。
         结论：这个图形是以O为圆心，以              为半径组成的           。
        4、探究4     学生自读教材P94页，理解反证法，
        教师：经过同一直线上的三个点能作出一个圆吗？
        学生：不能。
        学生归纳反证法的步骤：①提出与结论相反的假设；②推理出矛盾；③判定假设不成立；④得到原命题成立。
        （三）课堂小结。学生谈学完本课收获：
        点和圆的三种位置关系：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；知道了三角形外接圆和三角形外心的概念。
        （四）课堂检测。
        1、⊙O的半径为10㎝，根据下列条件点P到圆心O 的距离，判定点P和⊙O的位置关系：
        ⑴8㎝；      ⑵10㎝；       ⑶12㎝.
        2、⊙O的直径为10㎝，P是一个动点，当OP       时，点P在⊙O上；
        当OP       时，点P在⊙O外；当OP         时，点P在⊙O内。
        3、如图以点M（2,2）为圆心，OM为半径画圆，判定点
        A(2，0),B(-1，0),C(4，O)与⊙M的、位置关系。