台州市双语学校 周兴波
【摘 要】从初三复习中我发现“一题多问、变式教学”在初中数学教学中可以对学生有比较大的启发作用，有利于学生培养学生思维的灵活性，达到举一反三，熟一题，通一类的效果。
【关键词】一题教学，变式教学
最近我在学校与学生一起研究了一道习题。课前，练习卷中有些探究题，很多学生无从下手，所以我准下如下一堂习题课。为了将学生所学的知识进行整合和内化，教师需要串“珠”成“链”，用一题覆盖一类，帮助学生对数学知识进行深入了解。下面，我们的习题课将展示理解和内化的过程。
一、精心选择习题，为核心素养的渗透提供研究素材
著名数学家波利亚说过: “一个专心认真备课的教师能够拿出一个有变化但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”
这句话对我启发非常大，如果在平时的教学中通过不断归纳、提炼和探索，将题目拓展变式，采用“一课一题，一题多问”的方式，在同一大题中，通过问题的由浅入深，学生对实际应用能力和类比能力相较之前有了明显的促进作用。让学生经历“从无到有”的探究过程、“由误到悟”的试误过程、“由表及里”的提炼过程， 从“一题多问”到“一题多变”的转变，达到“解一题、会一类、通一片”的教学效果。正如授人与鱼不如授人于渔。
课堂母题
例题.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,点E是边AC上的一点,连接DE,作∠EDF=90°,交CB于点F，AC=2，BC=2AC.
试探究DE与DF之间的数量关系；
尝试探究：
连接EF，求△DEF面积的取值范围？
求四边形CEDF面积的取值范围？
拓展运用：
若BC=2AC改为BC=kAC，其中k＞1，请直接写出四边形CEDF面积的取值范围？
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二、以一题教学为根，进行类比探究
教学片段1：
教师先让学生思考5分钟，之后提出如下问题。
师:同学们，你们能展示自己思路吗？
生1：DE和DF线段显然不会相等，这两条线段从已知条件来看，DE与DF有特殊的位置关系，即DE⊥DF。这两条线段在直角三角形下，已经出现了2个直角。
师：从这一发现你觉得你想通过什么知识来解决这道题？
生1：我觉得需要用相似三角形中的“三垂直”。
师：很好，同学们可以根据他的思路，带着问题再深入思考一下。这道题有2个动点，这两个动点有关系吗？
（学生独自探究，并出现小规模讨论现象）.png)
生2：点F跟着点E在运动！点E是一级动点，点F是二级动点！（学生探究发现结论后兴奋不已）
师：（赞不绝口）你表达的很准确。你是怎样想的？
生2：（主动回答）当E确定时，点F随着点E的确定而确定下来。所以这里的2个动点E,F其实是一个动点E，点F是随着点E的运动而运动。
师：（环顾四周）XX同学描述得你们都能解析出来吗？XX同学，若你能将详细地证明这个结论就更好了。
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师：（归纳提炼）我们发现点E,F都在运动，但DE与DF之间的关系不变，那么其实是哪个元素不变？
生3：根据三角函数知识，那么得到∠FED不变。通过生2的结论，于是把边角关系的研究移至下一问题，将题目中增加如下一道小题：
连接EF，求△DEF面积的取值范围？
教学片断2：
师：三角形的面积在我们之前相关题目中，一般有几种方式可以求解？
生4（中等素质的学生）：两种。第一种，通过底乘以高的公式法求得面积；第二种，通过割补法，将一般三角形，分割成特殊图形来分别求解。
师：非常好，你记得很清楚。这道题，你觉得我们首先考虑那种？
生4：因为△DEF是一个直角三角形，我们要先考虑第一种。
师:（点头）我们先采用她的思路试试看，能不能做出来呢？
（学生独立思考，教师在学生身边观察）
师：（环顾四周）你们觉得△DEF的面积变化跟谁有关?
生5：我认为△DEF的面积大小是随着点E的位置变化而变化。
师：我觉得这个结论不够直观，你们全都知道答案了？（老师环顾四周发现较多学生在摇头）谁再分析分析！
生6:可以用DE的线段长度来表示△DEF的面积。
师:（连连称赞）你再给同学们说说，你是如何求的。
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师：同学们再观察这个图形，还有哪个图形的面积大小是可以求的？（由于题目较难，给与学生几分钟时间思考）
生7：四边形CEDF的面积
师：是的，我们一起来求，将题目增加如下一小题：
求四边形CEDF面积是定值吗？如果不是，求出它的取值范围。
教学片断3：
师：同学们，你们觉得四边形CEDF的面积的值是定值还是会变化的？
生8（较好的学生）：是会变化的，我通过特殊位置方法，发现求出的四边形CEDF的面积不一样。当E与C重合时，此时四边形CEDF变为△EDF，此时,=.
当E与A重合时，为.
师：很好，这也是个可以快速猜想的方法，也相对比较准确！我们就明确了，四边形CEDF面积是变化的。我们求一个元素取值范围的时候，根据之前的经验，谁能总结我们这节课之前的过程，告诉老师如何求面积的取值范围？
生9：（学生总结）也要先考虑四边形面积的求法，是直接公式法求，还是通过割补成特殊图形来求，求出面积表达式后，再求出四边形面积的最大值和最小值，就可以表示出面积的取值范围。
师：（竖大拇指等方式肯定这位学生）非常好，那么课堂就交给你，你按照你的思路讲下来。
生9：这道题四边形CEDF不是特殊四边形，根本无法用底乘以高直接求。我采用了割补法解决问题。第一次我把四边形CEDF割成了2个直角三角形，想利用上一题的结论△DFE的面积已经有的结论往下思考，再求出△CEF即可。后来发现计算量还是算△AED和△DFB的面积会小一些，再利用△ABC面积减去这两个三角形的面积就是四边形CEDF的面积。
生9：由于△AED和△DFB不特殊，我借助三垂直模型求两个三角形的高。
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师:通过这个基本图形，我们发现了图形中的两个动点问题，通过化动为静，其实是一个动点问题，通过三垂直模型，找到了DE与DF永远存在着关系，他们的比就是BC与AC的比。点E的变化表面上来看是让点F随着它的变化而变化，同时，还有△DEF和四边形CEDF的面积也是在随着点E的位置变化而在变化。
今天老师想考验一下你们这节课的学习效果，我们再改变点BC与AC的比值，你还会求出上面几个问题吗?增加以下一题：
若BC=2AC改为BC=kAC，其中k＞1，请直接写出四边形CEDF面积的取值范围？
教学片断4：
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设计说明：本文设计例题的时候主要想要考查相似三角形的性质和判定，一次函数最值问题，以期培养学生的建模能力与动态分析能力再次体会类比、转化、特殊到一般、数形结合的数学思想解决复杂问题。
通过改变或添加试题的条件或结论，由浅入深，由易到难，层层递进，从变中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，即将求“DE与DF关系”，由“△DEE'∽△DFF'”过渡到“△DEG∽△FDH”等。教师通过精心备课后，通过变式教学能让水平各不相同的学生都能解决部分题目，也能促进学生思考和归纳能力，从而更好地掌握解决一类问题的方法。数学问题的一系列变化，促进学生加深同类提醒的理解，产生举一反三的效果，同时也减轻学生的学习负担。
三、结语：
通过对例题最后一问的变式，将前面问题的解法蕴含其中，在此基础上还能让学生往更一般的情况探索，学生若能吸收下来，也就遏制了“题海战术”。
“一课一题，一题多问”对学生原有的基础知识、技能和知识框架都有巩固作用，并且可以提升学生的解题能力。经常做一题多问训练，能够培养学生思路的逻辑性和严密性，也有利于学生思维的创新性和发散性。对于教师，一题多问可以让教师清晰剖析知识点、技巧、方法，利于分析学生能力瓶颈，从而提高课堂效率。
今后我将在教学中尽可能对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型原始母题，覆盖尽可能多的知识点，并用一条主线将知识点串成一道新题，提升教学效率。