黄镜标
广州市花都区圆玄中学 510800
摘要：高中数学这一科目由于本身具有很强的抽象性、逻辑性等特点，导致学生对数学的学习感到困难。然而学生如果能合理运用函数思想，将遇到的问题转化成函数，化繁为简，进而对函数进行分析与解答得到答案，这已思想不仅可以提高学生的数学修养，扩展学生的解题思路与方法，而且还能够提高学生的解题质量，同时提升教师的教学效率。本篇文章尝试以函数思想为例，解决在高中数学解题时遇到的一些问题，以培养学生的数学思维与能力。
关键词：函数思想；解题；高中数学
引言
高中数学是高考的一门必考课程，它的学习有利于学生综合能力的全方位发。由于高中数学这一科目本身具有较强的抽象性、逻辑性，导致许多学生对于高中数学的学习感到困难。而数学思想方法不仅能够提高学生们的做题效率，提高教师们的教学质量，还能够培养学生们的数学思维，以及把数学知识与实际生活问题相结合的能力。而函数思想是众多数学思想之一，函数思想利用巧妙的手段，把遇到的问题构建成相关函数，从而运用学生们的函数思想进行分析与解答，使学生的解题思路不再单一。
一、函数思想
函数思想的构建是根据函数本身的概念来的，函数是一个事物与另一个事物之间有一定的关系，会随着一个事物的变化而发生有规律的变化，则函数思想就是这一概念的宏观表现，就是一种量与量之间的变化关系，而这种关系不是简单的固定不变的一种关系，而是变化的、动态的，因此我们要学会运用变化的观点去看问题、解决问题。
函数的本质是对应，比如函数y=f(x),函数的基本要是对用法则f、自变量x和因变量y，因变量会随自变量的变化而变化，自变量有自己的范围叫定义域；因变量由于自变量的范围以及对应法则也具有一定的范围，叫值域。
当高中同学在做题过程中，利用函数思想去解决遇到的困难时，其过程就是把遇到的数学问题想办法转换成量与量之间的函数问题，再利用同学对函数相关性质和特点的学习，去分析函数的特性，进而解决遇到的实际问题。高中同学在遇到难题时若想要运用函数思想，可以向一下三个方面想思路：（1）整体法，遇到相对较复杂的题，可以尝试跳出题目本身，从宏观上看这道题，看出这道题的整体框架与形式，化繁为简，思路会变的更加清晰明了。（2）归纳假设法，归纳假设法在探寻数学问题的过程中较为常用。首先通过归纳的方式猜想出满足此数学问题的一种解决方式，然后通过不完全的归纳验证说明假设的条件是正确的，进而最后运用数学归纳法证明出答案。（3）递推思想法，同学们遇到有关于递推关系的题目时，需要想到这种常用方法，它主要在高中数学“数列”这一板块中较为常见。
二、函数思想在高中数学解题中的具体应用
1.函数思想在方程中的应用
方程是一个等式，在这个等式中含有一个或多个未知数。方程思想运用合理的数学方法将难理解的数学问题转换为容易理解的数学模型，在运用所学函数的知识去解决问题。函数与方程之间的联系交相错杂，函数包含方程，方程又是函数的一部分，因此针对此现象，在遇到方程的问题时，完全可以快速运用函数思想进行转化，使方程问题转化为函数问题，化繁为简，这将是一种巧妙并且可行性非常大的方法。
比如：例1 解方程(x2-x+1)5-x5+4x2-8x+4=0.
解题过程:设t=x2-x+1，因函数f(t)=t5+4t在R上单调增加，又因f(x2-x+1)=f(x)，则x2-x+1=x，得出x=1。
分析：本题中的方程较为复杂，一个未知数，最高次幂为5次，则这是一个一元五次方程。看到复杂的方程，可以运用函数思想，把复杂的方程转化为简单的函数，降低了该题的运算量及复杂程度，进而进行求解。本题通过令t=x2-x+1构建了一个单调函数，然后通过函数的自变量与因变量一一对应的性质进行了解答。这样利用函数思想不仅简化了问题，并且也减小了本题的计算量，减小失误的概率。
2.函数思想在不等式中的应用
在高中数学中，不等式的学习非常重要，当同学遇到不等式的问题时，教师也要去刻意的引导学生把函数中的变量与不等式相结合起来，运用所学的函数的性质，比如有单调性、单调区间、零点等，结合不等式去解决相应的问题，这样也可以把一些复杂的不等式问题化为相对较容易理解的数学模型，即函数问题，以达到便捷的、简单的解决问题。
比如：例2 在锐角三角形ABC中，证明sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
解题过程:因为A、B、C均小于90°，则A+C=π-B>π/2 ，则A>π/2 -C,则由sinx的图像在(-π/2,π/2)上为增函数，则由函数性质可知，sinA>sin(π/2-C)=cosC;
同理得出sinB>cosA,sinC>cosB, 则三个不等式相加得出：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC
分析：本题同学不要去想办法用三角式的复杂变换来证明，这样工作量会相对较大。本题关键之处在于要把握三个角A、B、C的sin与cos之间的关系，就能够相对容易的理解题的本意，较快的运用所学三角函数的一些知识点，解决本题所遇到的困难。
3.函数思想在三角函数中的应用
三角函数的学习在高中课程中也非常重要，在学习三角函数中，也要学会运用函数思想去解决同学们在解题中遇到的困难，有时复杂的三角函数问题可以转换为相对较为简单的函数方程问题，进而运用同学们所学相关三角函数的知识点去解答相关题目。
比如：例3 已知 sinα+cosα=1/5,α∈(0,π)，则tanα=（）。
解题过程：将等式sinα+cosα=1/5两边分别平方，得sin2α+cos2α+2sinαcosα=1/25，因为sin2α+cos2α=1，则可推出sinαcosα=- 12/25.
则sinα+cosα=1/2，sinαcosα=- 12/25
设sinα=x，则cosα=1/5-x，则得出x1=4/5，x2=-3/5
因为x∈(0,π)，sinαcosα＜0，则sinα=4/5，cosα=-3/5，tanα==-4/3.
分析：本题看似是在让同学们算出α角的sin值和cos值问题，其实从宏观上看本质上是一道解方程的题，这就用到了函数思想，把题中给出的三角函数变量之间的关系，转换为一元二次方程组求解的问题，这巧妙地完成了从复杂的问题向简单化转变的情况。因此教师在教学过程中，尤其是在这种情况类似的条件下，要刻意的培养学生们函数思想的习惯，从整体上把握一道题而不是片面的去理解这道题。
4.函数思想在函数性质中的应用
很多同学们在碰到各种各样的函数时，由于对函数的性质、思路等掌握不牢固导致不能较快的运用函数思想对题进行一个解答，这就需要教师去引导同学们利用好函数的本身的性质去解答题目，往往会由事半功倍的效果。
比如：例4 已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0，且函数f(x)在x=0处有意义，则求f(0)=( )。
解题步骤：由f(x)+f(-x)=0可知：f(x)为奇函数，则f(x)的图像关于原点对称.
又因为f(x)在x=0处有意义，则f(0)=0.
分析：本题必须要求学生对函数的奇偶性、图像以及各个性质都要有深刻的把握，利于奇函数的图像以及在0点出值的特殊性等性质，便能较快的解答出本题的答案。同学们遇到这种问题要结合题目本身的性质，通过已知抓线索，结合函数思想，便能相对没有那么繁琐的解答这一类题目。
三、结束语
综上所述，函数思想在高中数学的学习当中是一个不可缺少的数学思想，当遇到的题目相对较为复杂、没有思路时，同学们可以运用函数思想，因为函数思想是一种具有整体性的思想，往往会帮助同学找到没有发现的线索，提供较为方便的思路，进而能够使同学们在计算量没有那么大的前提下，相对较轻松的解答题目。教师在日常的教学工作中要学会刻意的培养学生们的函数思想，让学生们通过一些典型例题去感悟函数思想的魅力所在，经常鼓励同学们运用函数思想解决数学问题甚至生活中的问题，在实践中慢慢丰富函数思维的扩展，完善数学多种类型题目的解题方法，让同学们深深感受到函数思想在解决实际问题时的魅力所在，这样慢慢实现同学们不管时思考方式还是解题方法上都有着一个全面的提升。
参考文献：
[1]范选锋. 函数思想在高中数学解题中的巧妙应用[J]. 数理化解题研究,2020(10):11-12.
[2]王婷婷. 函数思想在高中数学解题中的应用[J]. 数学大世界（中旬版）,2019(6):70.
[3]崔雷. 浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[J]. 数理化解题研究,2019(13):18-19.