寇树峰1 李淑芹1 王书和2 王利静2
1.河北省承德市第二中学 河北省承德市 067000
2.河北省承德市兴隆县第二中学 河北省承德市 067300
因式分解就是把一个多项式在复数或实数或有理数(初中一般为有理数)范围内化为几个最简整式的积的形式。结论：整式乘法与分解因式互为逆运算。
1、如果各项含有公因式，那么先提公因式，也就是能提则提。
2、如果多项式没有公因式，那就看它有几项，如果有两项，就运用公式法；如果有三项，就用公式法或十字相乘法来分解因式。
因式分解原则
1、分解要完全（有公因式否，还能用公式否）
2、结果中首项系数要求为正
3、分解一般只化到有理数就够了，如果要求的是实数范围，那就要化到实数范围。
分解方法
1、提公因式法：把多项式各项都含有的公因式提出来，将多项式写成因式的乘积。
找公因式的一般步骤：
（1）字母取相同的，相同字母的指数取最低的
（2）若各项系数为整数，则取各个整数的最大公约数；
（3）把所有这些因式的乘积做为最终的公因式
2、公式法：就是把乘法公式逆用，就可以得到因式分解的公式，这种分解因式的方法叫做公式法。
（1）平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2
特征（1）前后两项是两个数的平方和（2）中间项是这两个数的积的两倍（3）总共有三项
（3）立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
（4）立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2
（6）a33a2b+3ab2b3=(a)3
3、两根式:ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)来说，只要令它为零，并且有实数根，那么它在实数范围内可以分解。
4、十字相乘法：
某些特殊的二次三项式，如果能用一个十字线帮助分解因式，就叫十字相乘法。
例如x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)。
口诀：拆首尾，交叉相乘，凑中间一次项系数
基本步骤：
(1)二次项系数和常数项分别分解成两个因数乘积的形式
(2)经过十字线相乘后所得的两数和恰好为一次项系数
例：把6a2+13a+6分解因式
解：∴原式=(2a+3)(3a+2)
2 3
3 2
________
9 +4=13
例：把3x3-3x2-60x分解因式
解：∴原式=3x(x2-x-20)
=3x(x-5)(x+4)
5、双十字相乘法
有些二元二次六项式，如果能用两次十字相乘法分解，叫做双十字相乘法。
步骤：
(1)分解二次项用十字相乘法
(2)再把常数项分解成两个因式乘积形式
(3)经过十字线相乘后所得的项的和恰好为一次项，那么分解成功
例：分解因式：a2+5ab+6b2+8a+18b+12．
∴原式=(a+2b+2)(a+3b+6)
a+2b 2
a+3b 6
______________
2a+6b +6a+12b=8a+18b
6、分组分解法
分组分解主要有两种方法：二二分，三一分。
例：因式分解6ax+6bx+3ay+3by
解：6ax+6bx+3ay+3by
=6x(a+b)+3y(a+b)
=3(2x+y)(a+b)
例：因式分解 x2-x-y2-y
解：x2-x-y2-y
=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
例：因式分解x2-y2-2yz-z2
解：x2-y2-2yz-z2
=x2-(y+z)2
=(x-y-z)(x+y+z)
7、拆或添项法
多项式补上两项(互为相反数)或者某项拆开，这种分解方法叫做拆项添项法。需要注意，必须要进行恒等变形。
例:分解因式：a3-6a+5．
解法1： 将常数项5拆成-1+6．
原式=a3-6a-1+6
=(a3-1)-6a+6
=(a-1)(a2+a+1)-6(a-1)
=(a-1)(a2+a-5)
解法2：添加两项-a2+a2．
原式=a3-6a+5
=a3-a2+a2-6a+5
=a2(a-1)+(a-5)(a-1)
=(a-1)(a2+a-5)
8、配方法
某些多项式，先将其配成一个平方，再因式分解，叫做配方法。
例：分解因式x2+5x-6
解：x2+5x-6
=x2+5x+6.25-12.25
=(x+2.5)2-(3.5)2
=(x+6)(x-1)．
9、换元法
把多项式中某些相同的项换成新未知数进行分解，分解后再把原来的项代入，就是换元法。注意：换元得到的不是终极答案，还原后才是最终结果。
例：分解因式(a2+a+1)(a2+a+2)-12
解：令y=a2+a,则
原式=(y+1)(y+2)-12
=y2+3y+2-12=y2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(a2+a+5)(a2+a-2)
=(a2+a+5)(a+2)(a-1)．
10、主元法
先选定一个字母为未知数，其他字母都看成是已知数，在进行因式分解。
例：分解因式2x2-3xy+y2
解：原式=(x-y)(2x-y)
11、待定系数法
先预判分解的形式，设出字母系数，再求出系数，就可因式分解。
例：分解因式x2+5xy+6y2+8x+18y+12
分析：前三项可以分解成（x+2y）（x+3y）,那原式必然可以分解为（x+2y+m）（x+3y+n）的形式。
解：原式=(x+2y+m)(x+3y+n)=x2+5xy+6y2+(m+n)x+(2n+3m)y+mn
令m+n=8,2n+3m=18，求出m=2,n=6
原式=(x+2y+2)(x+3y+6)
应用例题
一、用于数值计算
在数值计算中先进行因式分解，经常有化繁为简的妙用。
例1 计算:
解 :原式
二、用于化简
把原来较为复杂的式子通过恒等变换，化为较为简单的形式，叫做化简。因式分解经常能独辟蹊径，经过分解相消合并，达到解决问题的目的。
例2.已知，化简
解：
=
==+
==（因为，所以）
三、用于判断整除
整除问题经常需要寻找公因数或公因式，因此，变形的方法主要是因式分解。
例3 .已知可以被在62至69之间的两个数整除，则它们是( )
(A)63，61 (B)61，65
(C)63，65 (D)63，67
解:
.
所以，能被63，65两个数整除.
因此，选C.
四、用于求代数式的值
代数式的求值问题，常常需要将待求式作恒等变换，进行化简，而因式分解就是主要方法之一
例4.已知，求的值。
解：因为，又，所以，
=18
五、用于证明
要说明一个命题是真命题，必须有严格的证明。因式分解作为多项式变形的大杀器，往往可以发挥重要作用。
例5.已知函数，（1）求函数的解析式
（2）根据函数的单调性证明在(0,1)上单调递减
解（1） 因为，
所以
（2）证明：对任意的
，，
∴01,0，所以0，又有得0
因此0，即0，所以，
所以在(0,1)上单调递减。
河北省教育科学规划一般课题《初中数学问题解决思想方法研究》，课题编号：1704076.