王艳秋
承德市兴隆县第二中学 河北省 承德市 067300
把握数学思想有利于学生对数学概念和性质的深刻理解和掌握，从而更加灵活地运用所学知识解答相关问题，培养创新能力应用能力。下面是对解决不等式问题中举例说明几种数学思想方法的运用。
一、类比思想
问题1：解方程： + =1
问题2：类比方程的解法，尝试着解一元一次不等式
+? ≥1，并归纳解题步骤？
思路:根据学生非常熟悉的解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，来完成一元一次不等式的解法，但最后一步一定结合不等式的性质来确定解集。
类比思想在中学数学中的概念、公式、性质及解题中无处不在，通过类比可以探索出很多新的知识、方法，寻求出与众不同的解题思路，探索数学规律。
二、数形结合思想
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数轴是学习、研究实数的重要工具，借助数轴可以把数与数之间的关系转化为点和点之间的位置关系，不等式组求解集时通过建立数轴的数形结合思想，可以更直观的看出两个解集的公共部分，深刻理解不等式公共解的概念，可以迅速解决相关问题。
三、分类思想
分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。利用不等式组解决方案类问题，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决再结合数形思想形象直观。分类讨论及数形结合思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力还有形象直观简化解决能力。
例5.某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人；已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元.
（1）该校初三年级共有多少人参加春游？
（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．
解(1)设租36座的车辆.
据题意得:
解得:
由题意应取8
则春游人数为:368=288(人).
(2) 方案①：租36座车8辆的费用:8400=3200元,
方案②：租42座车7辆的费用:元
方案③：因为，
租42座车6辆和36座车1辆的总费用:6×440+1×400=3040元。
所以方案③：租42座车6辆和36座车1辆最省钱.
思路：某校初三年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30…”主要考查了你对【不等式的定义】，【不等式的性质】，【一元一次不等式的解法】，【一元一次不等式组的定义】等知识点的理解和应用能力。
例6.某市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”，某单位给某乡中小学捐赠一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件。
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学，已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件，运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来。
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．
x+（x﹣80）=320，
解这个方程，得x=200．
∴x﹣80=120．答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．
得：解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m=2或3或4，
安排甲、乙两种货车时有3种方案．设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；
②甲车3辆，乙车5辆；
③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
①2×400+6×360=2960（元）；
②3×400+5×360=3000（元）；
③4×400+4×360=3040（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．思路：本题主要考查学生对一元一次方程和不等式组实际应用的掌握。为中考常考解决方案题型，要求学生牢固掌握这类解题技巧。
例7.某人想租一辆汽车使用。现有甲乙两家出租公司，甲公司的出租条件为，汽车每行驶1km需付租车费1.10元；乙公司的出租条件为，每月付3000元租车费，另外，汽车每行驶1km，租车人再付0.10元汽油费。这个人租哪家的汽车比较便宜？（用不等式解）
解：设每月费用y元，每月跑x千米该题为函数问题，设汽车行驶x千米，需要租金y元。
若租用甲公司的汽车，则x，y之间的关系：y=1.10x。
若租用乙公司的汽车，则x，y之间的关系：y=3000+0.10x。
当甲乙两公司租金相同时，1.10x=3000+0.10x
解得x=3000
当甲公司租金大于乙公司时，1.10x>3000+0.10x。
解得x>3000
当乙公司租金大于甲公司时，1.10x<3000+0.10x。
解得x<3000
答：当行驶路程恰好为3000千米时，选择甲乙公司一样合算；当行驶路程超过3000千米时，选择乙公司比较合算；当路程小于3000千米时，选择甲。
思路：本题主要考查学生对一元一次方程和不等式组实际应用的掌握。为中考常考解决方案题型，要求学生牢固掌握这类解题技巧。
总之，解决不等式问题有多种方法，我只是总结了几种比较常见的，在遇到类似的问题是应及时归纳总结，具体情况具体分析，灵活运用数学思想方法来解决问题。
河北省教育科学规划一般课题《初中数学问题解决思想方法研究》，课题编号：1704076.