王晓波 蔡小菊
承德市兴隆县第二中学 河北省 承德市 067300
转化与化归思想,是将一个问题由难化易,由繁化简的过程。是一种把待解决或未解决的问题,通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去,最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法上的体现,是数学中普遍适用的重要方法。转化与化归思想作为重要的数学思想之一,是中学数学中最重要的解题意识,在数学教学活动中充分注意这种意识的培养,可以提高学生的思维品质,培养学生的创新能力。数学中的化归有其特定的方向,一般为:化复杂为简单;化抽象为具体;化生疏为熟悉;化难为易;化一般为特殊;化特殊为一般;化“综合”为“单一”;化“高维”为“低维”等。
在初中数学学习过程中化归思想存在解决问题的各个方面,是在数学学习过程中快速解决问题的有效途径。
一、数与形的转化
数与形是密切相关的两个数学表象,它们是一一对应的关系,且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化。化归思想在初中数学学习中的应用就是教会学生能够以动态的视角去学习相关的知识,能够发现知识之间的相关性,从而使得在初中数学中学习的知识都能够很好的融入到学生的知识体系中。例如讲三角形、特殊四边形等形的问题时可以转化为数量关系来处理,就数论形;如图1两个正方形并列摆放,大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问题:只允许剪两刀,使裁剪后的图形能拼成一个大正方形。这个问题很多学生看到后都进行了动手操作,这里画一条线,那里剪一下,试了很多次也不能找到正确答案。实际上,我们只需把形转化为数,利用数的角度很容易就能理解明白,且迅速解决。解决办法如图2.
在学习函数问题时我们可以用函数图像来直观描述,以形究数,从而使问题简明易解。例如,在讲解二次函数的性质及应用时,有这样一个问题:二次函数y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(0,4),C三点,C点在y轴正半轴上,且AB=OC,求(1)点C的坐标,(2)求出二次函数解析式,并求出顶点坐标,(3)当x取何值时,y>0,y<0,y=0?解决这个问题时一部分同学直接借助所给条件直接去求,这样既浪费时间,又不能清晰的理解。更好的方法可以迅速画出草图,图3,结合图形来求,直观易懂。
使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.
著名的数学家华罗庚说得好:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”。
二、函数与方程的转化
函数与方程的转化,就是学会用函数和变量来思考,学会转化已知与未知的关系。在解题时,用函数思想做指导就需要把字母看作变量,把代数式看作函数,利用函数性质做工具进行分析,或者构造一个函数把表面上不是函数的问题化归为函数问题。用方程思想做指导就需要把含字母的等式看作方程,研究方程的根有什么要求。函数与方程思想在解题过程中有着密切的联系。一个数学问题,可以建立描述其数量特征的函数表达式,或列出表示其数量关系的方程式(组)(包括不等式(组)),这样可使问题得到解答。例如,一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,求:(1)方程组 的解;
(2) 当x取何值时,y1>y2,当x取何值时,y1<y2 ?
这个问题解决时如果利用待定系数法是无法
求出两个解析式的。我们可以利用函数与方
程组的关系,函数与不等式的关系,结合图
形直接解决。
三、生疏与熟悉的转化
数学学习中,我们总是要学习新的知识,对于陌生的知识,我们通常借助学过的知识和方法来解决。例如,在初中数学学习有关代数解方程的问题时,就可以采用化归的思想,这种思想是解决这种方程问题最为基本的方法,在解决问题的过程中会将方程组转化为一元一次方程,从而更快的解决其中的问题。在解决方程组时应用的思想就是通过对方程组进行降次和消元,转变为学生能够解决的最为基本的知识,从而能够快速地解决问题。在初中数学中的平面几何的学习也是一样的道理。在学习四边形以及多边形时,教师在教学过程中都要将这些图形划分成学生所熟悉的三角形,这样学生才能更快地学习四边形的一些相应的知识点。在学习梯形时也是如此,通过对梯形做辅助线的形式将梯形转化为学生熟悉的三角形,从而达到学习知识的目的。
转化与化归思想在数学解题中几乎无处不在。说到底,化归的实质就是以运动变化发展的观点,以及事物之间相互联系,相互制约的观点看待问题,善于对所要解决的问题进行变换转化,使问题得以解决。要想灵活运用转化与化归思想解决数学问题,首先要扎实基础知识,其次要提高数学素养。
主要参考文献:
[1] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书,数学,八年级下[M].河北教育出版社, 2013.
[2] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书,数学,九年级上 [M].河北教育出版社, 2012.
河北省教育科学规划一般课题《初中数学问题解决思想方法研究》,课题编号:1704076.
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