蔡小菊 王晓波
承德市兴隆县第二中学 河北省 承德市 067300
我们学习了平面与直线垂直的定义、判定定理和性质定理，大家可以体会线线垂直在证明线面垂直时的重要性，将“三维”问题转化为“二维”解决是一种重要的立体几何数学思想方法.在处理实际问题过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的重要垂直关系，从而架起已知与未知的“桥梁”，同学们下面欣赏常见的线面垂直证明方法.
一、利用定义
垂直的定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。从定义可以看出，只要说明两条直线相交的角是直角，就可以说明两条直线互相垂直。
例1：如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
求证：PC是⊙O的切线；
分析：因为点C在圆上，只要说
明OC⊥CP即可。
解：∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线
例2：（1）把两个含有45°角的直角三角板如图1放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
求证：AF⊥BE．
分析：线段之间的垂直，只要说明∠BFD=90°，直接计算不出来，通过三角形全等，间接证明角度为90°。
证明：在△ACD和△BCE中，AC＝BC，
∠DCA＝∠ECB＝90°，DC＝EC，
∴ △ACD≌△BCE（SAS）
∴ ∠DAC＝∠EBC．
∵ ∠ADC＝∠BDF，
∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°．
∴ ∠BFD=90°
∴ AF⊥BE．
（2）把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连结BE，AD，AD的延长线交BE于点F．问AF与BE是否垂直？并说明理由．
分析：题目同（1）类似，类比（1）思路，这里△ACD和△BCE，显然不全等，考虑相似即可。
解：AF⊥BE．
∵ ∠ABC＝∠DEC＝30°，
∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴ ＝tan60°
∴ △DCA∽△ECB．
∴ ∠DAC＝∠EBC．
∵ ∠ADC＝∠BDF，
∴ ∠EBC＋∠BDF＝∠DAC＋∠ADC=90°
∴ ∠BFD=90°
∴ AF⊥BE．
二、利用旋转性质
根据旋转性质“旋转前、后的图形全等，对应线段旋转的角度等于旋转角”，如果旋转角是90°，那么对应线段旋转的角度就是90°。
例3：已知：如图，在△ACD中分别以CA、CB为边向外作正方形CANM、正方形CBED，连接MB、AD，求证：MB⊥AD。
分析：这里有两个正方形，故考虑MB绕点C逆时针旋转到AD.
解：在正方形CANM、正方形CBED中，
有CM=CA, ∠MCA＝90°；CB=CD, ∠BCD＝90°.
故可看作：点M绕点C逆时针旋转90°到点A；点B绕点C逆时针旋转90°到点D。
所以MB绕点C逆时针旋转90°到AD，旋转角为
90°。
所以：∠2=90°
所以：MB⊥AD
三、利用勾股定理逆定理
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形。这个逆定理从边的数量关系来判定直角三角形，从而有垂直出现。
例4：如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.
（1）写出的值；
（2）判断的形状，并说明理由。
解：（1）的顶点坐标
为Ｄ（－１，－４），
∴ .
（2）由（1）得.
当时，． 解之，得：．
∴ .
又当时，，
∴C点坐标为.
又抛物线顶点坐标，作
抛物线的对称轴交轴于点E，
轴于点．易知
在中，；
在中，；
在中，；
∴ ．
∴ △ACD是直角三角形．
四、等腰三角形三线合一
等腰三角形三线合一是指等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。如果所要证的垂直恰好是等腰三角形的顶角平分线或底边上的高，则由等腰三角形的三线合一可知它们垂直。
例5：（山东潍坊市2009年中考试题）在四边形中，且．取的中点，连结．
试判断三角形的形状；
解：（1）延长BP、CD交于点E,
由题意，AP=DP，AB∥CD
∴∠ABP=∠E,，∠BAP=∠EDP
∴△ABP≌△DEP
∴BP=EP,ED=AB=a，
∴EC=DC+DE= b+a
又∵BC=a+b,
∴EC =BC
即：△ECB是等腰三角形。
又BP=EP,
即CP是等腰三角形△ECB底边上的中线。
∴ CP ⊥BE
即△PBC是直角三角形，
又CD⊥BC，BP=PE
∴BP=CP
∴△PBC是等腰直角三角形，
五、利用三角形的高线交于一点
由三角形的高线性质可知：三角形的三条高交于一点。
例6：把两个含有30°角的直角三角板
如图放置，点D在BC上，连结BE，AD，
AD的延长线交BE于点F．
问AF与BE是否垂直？并说明理由．
分析：对于△ABE来说，BC是一条高，
延长ED交AB于G，EG也是它的一条高，
故D是△ABE高的交点。
解：延长ED交AB于G,
∵ ∠DEC＝30°，∠CAB＝60°，
∴∠AGE=90°
∴ EG是△ABE的一条高。
又BC是△ABE的另一条高。
∴D是△ABE高的交点。
又AF经过点D，
∴AF⊥BE
在以上几种方法中，以利用定义和勾股定理逆定理最为常用，即从角的数量和边的数量考虑进行证明。
主要参考文献：
[1] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书,数学,七年级上 [M].河北教育出版社, 2012.第二章《几何图形的初步认识》85-86页.
[2] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书，数学，八年级上[M].河北教育出版社, 2012.第十三章《全等三角形》.
[3] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书,数学,九年级上 [M].河北教育出版社, 2012.第二十六章《解直角三角形》.
[4] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书，数学，九年级下[M].河北教育出版社, 2013.第三十章《二次函数》.
[5] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书，数学，九年级下[M].河北教育出版社, 2013.第二十九章《直线和圆的位置关系》.
[6] 义务教育数学课程标准,2011年版/中华人民共和国教育部制定.
河北省教育科学规划一般课题《初中数学问题解决思想方法研究》，课题编号：1704076.
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