王书合1 王利静1 寇树峰2 李淑芹2
1.河北省承德市兴隆县第二中学 河北省承德市 067300
2.河北省承德市第二中学 河北省承德市 067000
概率与统计》是新课程增加的内容,学生难学,教师难教.难学在找不到学习方法,解题思路；难教在没有现成的授课模式,教课方法.同时这一领域的学习内容对学生来说是充满趣味和吸引力的.动手收集与呈现数据是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程,做概率游戏本身就是对思维的一种挑战,也是一个非常有趣的过程.这有助于培养学生对数学的积极情感体验,也是教师对《标准》中"三维目标"领悟的典型案例.以下对统计与概率中的思想方法做以下简单梳理：
一、统计表的运用
例1：为了了解不同品牌饮料的市场占有率，小亮和小明选择了一家超市进行调查，对当天50名顾客购买饮料的品牌进行了记录。用字母K，B，L，C分别表示四种销量最大的饮料品牌，用字母Q表示这四种品牌以外的品牌.
小亮记录的结果如下：
小明按饮料的品牌分类，用画“正”字的方式记录购买各品牌饮料的人数，并计算购买各品牌饮料的人数所占的百分比。（依据上面数据填表）
饮料品牌
画“正”字记数
人数/名（频数）
百分比（频率）
K
B
L
月
4月
5月
6月
7月
8月
库尔勒香梨（吨）
4
5
13
哈密瓜（吨）
8
7
9
7
10
7
（1）补全上表：
（2）补全右面折线统计图；
（3）请你根据折线图上两种瓜果销售
量的趋势对这两种瓜果在去年3月份至8月份的销售情况进行分析：
例4（2009·河北）：某商店在四个月的试销期内，只销售A、B两个品牌的电视机，共售出400台．试销结束后，只能经销其中的一个品牌，为作出决定，经销人员正在绘制两幅统计图，如图1和图2．
（1）第四个月销量占总销量的百分比是 ；
（2）在图2中补全表示B品牌电视机月销量的折线；
（3）经计算，两个品牌电视机月销量的平均水平相同，请你结合折线的走势进行简要分析，判断该商店应经销哪个品牌的电视机．
三、公式的运用
1.一般地，我们把n个数x1，x2，…，xn的和与n的比，叫做这 n 个数的算数平均数：=（x1+x2+…+xn）
2.在求 n 个数的算术平均数时，如果x1 出现 f1 次， x2出现 f2 次，…，xk 出现 fk 次（这里 f1 + f2 +…+ fk = n ），那么这 n 个数的平均数=（x1f1 +x2
f2+…+xnfk），也叫做 x1 ，x2 ，…，xk 这 k个数的加权平均数，其中f1 ， f2 ，…，fk 分别叫做x1 ，x2 ，…，xk 的权．
3.一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，
wn，则=叫做这n个数的加权平均数．
4. 设有n个数据x1，x2，…，xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（x1-）2、（x2-）2、…、（xn-）2 ，我们用这些值的平均数叫做这组数据的方差，即
s2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]
例5（2013·河北）：某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；
（3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：
①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？
②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．
例6：为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测验，两个人在相同条件下各射靶10次，为了比较两人的成绩，制作了如下统计图表：
? 甲、乙射击成绩统计表
平均数
中位数
方差
命中10环的次数
甲
7
?
?
0
乙
?
?
?
1
甲、乙射击成绩折线图
（1）请补全上述图表（请直接在表中填空和补全折线图）；
（2）如果规定成绩较稳定者胜出，你认为谁应胜出？说明你的理由；
（3）如果希望（2）中的另一名选手胜出，根据图表中的信息，应该制定怎样的评判规则？为什么？
例7（2015·河北）：某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图．
A，B产品单价变化统计表
第一次
第二次
第三次
A产品单价（元/件）
6
5.2
6.5
B产品单价（元/件）
3.5
4
3
求得了A产品三次单价的平均数和方差：
* =5.9，sA2=[（6﹣5.9）2+（5.2﹣5.9）2+（6.5﹣5.9）2]
=
（1）补全如图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次的单价比上一次的单价降低了 %.
（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；
（3）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值．
四、概率表的运用
例8：如图，一质地均匀的正四面体（四的面均为等边三角形）四个面上标有数字1,2,3,4，投掷这四面体2次。观察底面上的数字。
求（1）两次全是3的概率？（2）两次全是偶数的概率？（3）和为6的概率？（4）和为偶数的概率？
分析：投掷一次会有 种等可能结果，投掷第二次会有 种等可能结果。
一次 二次
.png)
P(全是3)= P(全是偶数)=
P(和为6)= P(和为偶数)=
例9：如图，A、B两个转盘分别被平均分成三个、四个扇形，分别转动A盘、B盘各一次．转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．请用列表或画树状图的方法，求两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的概率．
五、概率树形图的运用
例10：两名同学玩“石头、剪刀、布”的游戏，补全下列树形图：
.png)
甲
乙
结果 平 甲胜 ， ， ， ， ， ， ，
所有可能结果有 种，甲胜的可能结果有 ，不能确定胜负的结果 有 。
例11：五张大小相同分别标有1-5数字的卡片，放在箱子中，一次抽两张，恰好积是偶数的概率是多少？
.png)
六、统计与概率图表的综合运用
例12（2017·河北）：老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分．
（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；
（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；
（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了 人．
例13（2018·河北）：编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%．
（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；
（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；
（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次，这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．
以上是在《概率与统计》的教学中中学数学思想方法的一些初步归纳与总结，当然还不够全面，有的也可能不十分准确，但是我们在学习数学时就要不断总结数学中蕴含的思想方法，才能灵活准确的解决数学相关的问题，从而服务于实际生活。
主要参考文献：
[1] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书，数学，八年级下[M].河北教育出版社, 2013.第十八章《数据的收集与整理》1-28页；
[2] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书,数学,九年级上 [M].河北教育出版社, 2012.第二十三章《数据分析》1-32页；
[3] 杨俊英,义务教育课程标准实验教科书，数学，九年级下[M].河北教育出版社, 2013.第三十一章《随机事件的概率》59-88页；
河北省教育科学规划一般课题《初中数学问题解决思想方法研究》，课题编号：1704076.
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