张艳 张辅晔
承德市兴隆县第二中学 河北省 承德市 067300
平面几何图形中的计算问题是初中数学中常见的题型，线段长度的求解就是典型的一类中考必考题型。纵观这几年的中考题及教材，不难发现，解决的问题的主要途径是运用数学思想方法，这也是新课标的要求。针对几年的教学，我总结了几种求线段长度问题的思想方法。
一、分类思想及数形结合思想
1.线段及端点位置的不确定性引发讨论
例1：已知A、B、C三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M为线段AB的中点，线段BC=3cm，点N为线段BC的中点，求线段MN的长.
解析：A、B两点确定一条直线，所以点C的位置不确定，需要分类讨论，并画出相应的图形。
(1)点C在线段AB上： (2)点C在线段AB的延长线上
解：(1)∵点M为线段AB的中点,∴BM=?AB=3.5cm .同理BN=1.5cm
又∵MN=BM-BN=3.5-1.5=2(cm)
(2)∵点M为线段AB的中点,∴BM=?AB=3.5cm .同理BN=1.5cm
又∵MN=BM+BN=3.5+1.5=5(cm)
综上所述线段MN的长为2cm或5cm.
2.由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类
例2：若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
解析：由题意9cm和12cm两部分不能确定哪一部分是腰+腰的一半还是底+腰的一半，所以要分类讨论，并画出相应的图形直观求解。
（1）当腰+腰的一半=9时，腰=6，那么底=9（2）当腰+腰的一半=12时，腰=8,底=5
所以个等腰三角形的底和腰的长为9cm和6cm或5cm和8cm。
3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论
例3:已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边。
解析：因为没有说明两条都是直角边还是一条直角边和斜边，所以要分类并画出图形。
（1）3、4都是直角边时，由勾股定理得第三边为5。
（2）4为斜边，3是直角边时，由勾股定理得第三边为。所以第三边为5或。
4、相似三角形的对应角(或边)不确定而进行的分类。
例4：如图所示，在中，是的中点，过点的直线交于点，若以为顶点的三角形和以为顶点的三角形相似，则的长为（ ）
(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)
解析：由题意△ABC与△APQ没有指明对应关系，所以要分类讨论并画出图形。
(1)当△ABC∽△APQ时，= ,AQ=3
(2)当△ABC∽△AQP时,, AQ=
所以选B。
分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；等腰三角形腰或底不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决再结合数形思想形象直观。分类讨论及数形结合思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力还有形象直观简化解决能力。
二、整体思想
对于要求的线段根据已知条件没法分别求解再利用和差计算时，可以把要求的个体部分作为一个“整体”。
例5：如图，点C是线段AB上一点，
D,E分别是线段AC和BC的中点。
若AB=10cm，则AD+BE= cm。
解析：根据条件AB=10cm，没办法分别求出AD和BE的长度，怎么办？把AD和BE“绑”一块，把AD+BE当成一个整体，让它们“结伴而行”。
解：∵D,E分别是线段AC和BC的中点
∴AD=AC,BE=BC
∴AD+BE=AC+BC
=(AC+BC)
=AB=5(cm)
由此可见解决用已知条件无法直接求解的线段长度问题，整体思想是常用的一种数学思想。
三、转化思想
转化思想可以说在数学学习中是非常重要的一种数学思想，经常要把要求的的结论转化为已知的条件得以求解。
例6：如图，A,B,C,D是直线l上顺次排列的四个点，且线段AC=5, BD=4,则AB-CD= ？
分析：
∵AB=AC-BC,CD=BD-BC
∴AB-CD= (AC-BC)-(BD-BC)
∴AB-CD=AC-BD=5-4=1
此题要求的线段都不知道，所以把要求的线段转化为用已知线段表示从而得以求解是一种重要的数学思想，在其它题中也被广泛应用。
四、方程思想
例7：若点C,D是线段AB上
两点，把AB分成2:3:5三部分，线
段AB=20,求线段AC,CD,,DB的长度。
分析：根据图形，可以得到AB=AC+CD+DB,已知线段的比,可以设AC=2x, CD=3x,DB=5x.利用2x+3x+5x=20这个方程可得x=2。所以AC=4，CD=6，DB=10
例8：旗杆上的绳子垂到地面还多出1m,
如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m后,绷
紧的绳子的末端刚好接触地面,求旗杆的高度。
分析：此题将实际抽象为数学问题是已
知BC=5米，AC比AB大1米，求AB的长。
由题得到一个直角三角形，属于知边求边的问题，通常想到勾股定理，但只有一条
已知边长，不能直接求解，所以设出要求的AB=x米，则AC=(x+1)米，运用方程思想就可以轻松解决了。
解：如图，设AB=x米，则AC=(x+1)米。
由勾股定理得，（x+1)-x=5
解得x=12米
通过上面两题我们可以得出求线段长度问题中遇到已知线段的比值或倍分以及已知线段和未知线段存在等量关系但不能直接求解通常选用方程思想。
五、建模思想
例9：一条河的两岸有一段是平行的，在河的两岸每隔5米有一颗树，在河的对岸每隔50米有一根电线杆，在南岸离开岸边25米出看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两颗树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，求河宽。
分析根据题意，求河宽就是线
段长，它的求解方法是看到了典型
的A字结构（常见出相似的基本图
形还有8字型，双垂型，一线三等角型等）几何图形，所以要建立相似模型求线段长，再根据求解的线段长并不是直接的三角形边长但与三角形的高有关，选择相似三角形的对应高的性质再利用方程思想可以比较容易求解。
解：略。
例10：某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60°的方向上，船行半小时后到B测得该岛在东北的方向上，
已知该岛16海里内有暗礁（1）试说
明B点是否在暗礁区域外？（2）若船
继续向东航行，有无触礁危险？
分析：本题第一步应当把实际问题抽象成求BC和点C到直线AB的距离。第二步依据图形和题意属于知AB=18,∠CAB=30°, ∠DBC=45°,既知边和角求边的问题，建立三角函数模型，所以需要构建直角三角形，再结合方程思想可以求解。
六、利用证明结果求线段长
例11：如图1，一艘海轮位于灯塔P的
南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海
里的速度向正北方向航行，2小时后到达位
于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯
塔P的距离为（ ）
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
分析：此题知MN=80海里，还有两个非特殊角，结合答案应属于特殊方法（等量代换）求解。把三角形的内角求出用等角对等边得出NP=NM=80海里。
例13： 如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．
若CE=10cm，求DF的长度．
分析：通过观察图形知道DF是Rt△DCF
的元素，CE=10是Rt△CBE的元素，不能直
接求解，所以选用特殊方法通过证明全等把
未知转化为已知，从而得到DF=CE=10cm.
总之，求线段长度有多种方法，我只是总结了几种比较常见的，在遇到类似的问题是应及时归纳总结，具体情况具体分析，灵活运用数学思想方法来解决问题。
河北省教育科学规划一般课题《初中数学问题解决思想方法研究》，课题编号：1704076.