王玉林 1 曹海峰2 王书和2
1.河北省承德市兴隆县教师发展中心 河北省 承德市 067300
2.河北省承德市兴隆县第二中学 河北省 承德市 067300
数学中常见的研究对象是“数”和“形”。“数”具有准确性， "形”具有直观性,在数学教学中 “无形时数不直观，形少时难入精”。因此我们经常通过“数”与“形”的结合来分析问题、解决问题。这就是所谓的数形结合。数形结合的思想方法是将抽象严谨的数学语言、定量关系与直观的几何图形和位置关系相结合。通过“图形辅助数字”，抽象问题被可视化为原型。这给人以形象思维的启示；反之，“以数助形”利用数学推理和对直觉问题的精确描述，从而达到把握数学本质的目的。
数形结合的思想方法被广泛应用于初中数学教学中。常用的有判断有理数大小的关系、解方程与解不等式、解应用题、函数与图像、平面几何问题、数据统计等方面。
一．数形结合在不等式(组)中的应用
例1：解下列不等式及不等式组，并把解在数轴上表示上出来:
分析：先对不等式进行去括号、通分化简，可变形为: 6x-6< 3-2x+6x，然后求解并在数轴上表示出来.
解:(1)原不等式可变形为: 6x-6<3-2x+6x,解得: x<4.5，
此解集在数轴上表示为:
不等式的解集 x<4.5 可以直观地表达在数轴上，既是具体的又是形象的，更能理解不等式的解有无穷多个。对于初学者来说很有必要的。
分析：先把两个不等式分别进行化简求值，再求不等式的解集，最后在数轴上表示出解集即可。
解: 原不等式组可转化为:
解得:-1≤x<3,
此解集在数轴上表示为:
在教学一元一次不等式(组)时，为了加深学生对不等式(组)解集的理解，教师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解,在数轴上表示数是数形结合思想方法的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴.上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式的解集时，利用数轴更为有效。
二．数形结合在列方程(组)解应用题中的应用
例2: 甲、乙两地间的路程为375km.—辆轿车和一辆公共汽车分别从甲、乙两地同时出发沿公路相向而行.轿车的平均速度为90km/h，公共汽车的平均速度为60km/h.它们出发后多少小时在途中相遇?
分析：根据题意，轿车走完全程的路=公共汽车走完全程的路程;相遇时，轿车所用的时间=公共汽车所用的时间，轿车所走的路程＋公共汽车所走的路程=甲乙两地的距离; 在解决这个问题时，要抓住这个等量关系、(画出线路图关系就很清楚了)
甲乙两地相距375km，轿车从甲地开往乙地，速度是90km/h，公共汽车从乙地开往甲地，速度是60km/h，经过x小时后两车相遇;
列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列出方程，要突破这个教学难点，往往需要根据问题的含义画出相应的示意图。这里是数形结合的思维方法。不论是行程问题、追及问题，还是工程问题等，根据题意画出相应示意图，能帮助学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破教学难点，
三.利用数形结合理解平方差公式和完全平方公式
例3：平方差公式:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2- b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式：（a+b)2=a2 + 2ab + b2
利用图形面积的相等关系，从几何的角度进一步验证平方差公式和完全平方公式的正确性，渗透数形结合的思维方法，让学生体会到代数与几何的内在联系，引导学生多角度学习、多方面思考问题。
四.数形结合在函数中的应用
例4：（2020·江阴市期末测试题）已知二次函数y=ax2 +bx+c ( a≠0 )的图象如图所示，则下列结论:①abc>0;②a-b+c>0;③4a-2b+c<0 ,其中结论正确的个数为( )
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
分析：首先根据开口方向确定a<0，根据对称轴的位置确定b> 0，根据拋物线与y轴的交点确定c> 0，则abc< 0即可判断①;由x=-1时和x=-2时的函数值即可判断②③.
解:抛物线开口朝下，
∴a<0，
∵对称轴
∴b>0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c> 0，
∴abc<0,故①错误;
根据图象知道当x=-1时，y=a-b+c<0,故②正确;
根据图象知道当x=-2时，y=4a-2b+c<0，故③正确。
故选:C.
教学时会发现图形的特征常常体现着数的关系，运用“数”的规律，数值的计算，就可以寻找出处理“形”的方法，来达到 “数促形”的目的。
五．数形结合理解无理数
例5：(2020·济南市期中测试题)同学们，学习了无理数之后,我们已经把数的领域扩大到了实数的范围,下面让我们在几个具体的图形中认识一下无理数.
(1)如图1，直径为1个单位长度的圆从原点0沿数轴向右滚动一周，圆上的一点P (开始滚动时与点0重合)由原点到达点O?,则00?的长度就等于圆的周长π，所以数轴上点O'代表的实数就是 ，它是一个无理数.
( 2 )如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=2, BC=1,根据勾股定理可求得AB=
( 3 )你能在6×8的网格图中(每个小正方形边长均为
1 ) ,画出一条长为 的格点线段吗?
( 4 )请你在数轴上找到表示 的点.
分析: (1) 由(1)结论我们可以得到数轴上点0?代表的实数就是无理数π;
(2)直接运用勾股定理求出AB即可;
(3)根据 结合勾股定理解决问题即可.
(4)在数轴上做一个两直角边分别为2和1的直角三角形;以原点为圆心，所画直角边的斜边半径画弧，交数轴的负半轴于一点A ,这点就是所求的表示的点.
利用图形表示无理数，进一步从几何角度验证了无理数的存在，渗透了数形结合的思想方法，让学生对无理数有了更深刻的认识。
六.数形结合在数据的收集与处理中的应用
例6：（2005·河北省中考题）如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图.教练组规定:体能测试成绩70分以上(包括70分)为合格.
( 1 )请根据图中所提供的信息填写右表:
(2)请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断:
①依据平均数与成绩台格的次数比较甲和乙,谁的体能测试成绩较好;
②依据平均数与中位数比较甲和乙，____的体能测试成绩较好 .
③依据折线统计图和成绩台格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好.
分析：分析: (1)根据折线统计图和有关统计知识可以填写下表:
(2)此题是开放题目，因此学生的回答是多样的，例如:甲体能较稳定,因为方差较小;乙有潜力，因为乙的最好成绩比甲的最好成绩高等;
(3)从折线统计图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势，但是，乙的增长速度比甲快;从众数看，乙的成绩比甲好;从体能测试成绩合格次数看,后一阶段乙的成绩合格次数比甲多，所以乙训练的效果较好。
此题考查的是条形统计图和表格的综合运用，融入了数形结合的思想方法，可加深学生对平均数、众数、中位数、方差等概念的理解;读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键。
通过以上例题的分析和解答，我们可以发现，在初中数学教学中，数和形是两个最重要的研究对象，它们之间有着非常密切的关系，贯穿于整个教学之中，考试时注意数形结合，考虑问题的具体情况，将图形性质问题转化为数量关系问题，或将数量关系问题转化为图形性质问题。它不仅简化了复杂的问题，而且使抽象的问题具体化。转化难易，对培养学生数形结合的数学思维方法，形成良好的数学思维具有重要作用。
河北省教育科学规划一般课题《初中数学问题解决思想方法研究》，课题编号：1704076.
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