曹巧巧
奉化区溪口中学 浙江 宁波 315502
摘要：学习的最高层次是学会创新,教师在习题中应逐步培养学生深度学习的能力，以发散学生的思维，提高学生的核心素养为目标。文章以一节“直线与圆的位置关系”习题课为例，以“忆根立模，爬坡灵结，站高达内”为主线，将一题多解、改编探究贯穿始终，问题设置由静到动、由浅入深、由易到难，从而有效达成课堂的既定目标。
关键词：深度教学；思维；直线与圆的位置关系；一题多解；改编探究
引言：直线与圆的动态问题是考察学生数形结合、分类讨论、方程等数学思想的载体。笔者在本节的教学中发现问题导学设计中融入一题多解、改编探究有利于培养学生深度学习的能力，帮助学生超越一般的知识和技能真正深入到思维的层面，逐步学会更清晰、更全面、更合理地思考，提升思维的整体性和灵活性、自觉性与创造性等。[1]
1.忆根源，立模型——“播、萌”并施
1.1播——思维之“种”
深度学习要求学生立足基础，追根溯源。本章习题教学以一条、两条、三条直线分别与圆的位置关系引入，通过启发、追问，唤起学生思维的“根”与“源”——切线的概念、判定方法、性质，切线长定理，三角形的内切圆。为后面思考典例，感悟解法，创新改编，以成内化做铺垫。
1.2萌——思维之“芽”
深度学习要求学生看清本质，知识整合。解决原型问题，其典型、常规，虽综合多个知识点，但绝大部分学生能够解答出来。图形改变，仍可以一法多用。
典例：如图1，⊙O的圆心在直角边BC上,且切AC边于C点,切AB边于D点，AC=3,BC=4,求⊙O的半径r。
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典例立足教材，尊重教材。学生容易解决，但想不全解法，设置本题的目的一方面是为了贴切本节课的主题，增强学生对基本模型的感知力，同时树立学生的自信心；另一方面是为了激发起了学生对多种解法的求知欲，使得潜在的核心素养和思维能力得到发展。课堂呈现上来看是比较好的。
2.爬坡度，灵小结——“抽、展” 结合
2.1抽——思维之“枝”
“思维的枝”指从不同方向、不同角度剖释同一问题，拓宽思维领域，发展培养学生的非智力因素（坚强的意志、勇于探究的精神等）。下面探究典例的解法，以供读者参考。
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“一题多解”的成功，不但培养了学生的自我批判能力，经过分析，比较，体会不用解法的“优劣”，或许能够找到终南捷径，事半功倍；而且让班集体具有了敢想勤思的学习气氛，体会数学之“简”与“美”，进而活跃了学生主动学习的情感，思维在朝气中竞相涌动。
2.2展——思维之“叶”
深度学习要求学生形成良好的思维习惯，全面提高学生的思维品质。“叶”泛指问题的知识点（包括概念、性质、公式、定理等）、思想或方法、难点和易错点。
纽约圣约翰大学的教授曾做过调查：学生自己说过、写过、画过的问题对他们来说才是印象最深刻的。[2]所以，笔者在“简”与“美”之后，鼓励学生自己归纳原题型用到的知识点、思想或方法。通过学生的发言整理，获得一条明线——勾股定理、切线长定理、相似三角形性质、锐角三角函数；一条暗线——数形结合思想、等积法。
所在课堂教学中，教师应当尽可能多的开动学生的各种感官来加入学习。触类旁通，同时也充分体现“教为主导，学为主体”的教学思想，发展学生思维的立体性。
3.站高度，达内化——“开、落”导引
3.1开——思维之“花”
“思维的花”指从基本问题入手，改变题目的条件（包括将条件由静化动）、结论或结构。教师发现习题的潜在价值，对其进行深度的发掘、提炼、改编。习题的“第二次生命”使学生真正做到知识的融会贯通，从而提高学生思维的灵活度以及创造度。[4] 下面为笔者对典例的改编，以供读者参考。
改编1：把△ABC和⊙P放在平面直角坐标系中研究：以边BC所在直线为x轴，以边AC所在直线为y轴（如图4），则点B(4,0),点A(0,3)。半径为1的⊙P，圆心P从C点出发，沿C→B→A→C以每秒1个单位长度的速度移动，设移动的时间为t(单位:s)。
当t为何值时,⊙P边AB相切。
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改编2：若圆心P在直线CB上运动，当⊙P与直线AB有公共点时，求点P移动的最大距离。
改编3：若改变圆的大小，此时让圆心P在直线CB上运动，若⊙P与直线AB、AC都相切，求点P的坐标。
问题导学设计以三个改编为线索，点滴呈现、点滴引导。首先给予学生个人充分的思考时间，笔者对个别有问题的学生进行辅导；再以五人一组为单位，各抒己见、做到滴水不漏；最后以组代表为单位，进行广泛交流，以达集思广益、逐个击破的效果。问题设置由静到动、由浅入深、由易到难。通过改编，学生形成数学知识网络的目的易于达成，以此获得解决题目的一般规律。不但培养了学生的数学核心素养，而且提高了学生的思维能力和分析、解决问题的能力。
3.2落——思维之“果”
涉及分类讨论思想的题目对中等生和学困生是有难度的，本题主要根据几何图形的位置关系确立分类标准。改编1考虑P在线段BC、AC上；改编2关键明确⊙P与直线AB的位置关系变化：相离—相切—相交—相切—相离；改编3同改编1类似。在数学教学中，分类讨论是学生重要的解题策略，同时也是常见的思想方法，有了它的存在，学生的数学思想“招蜂引蝶”，思维更具备逻辑性和严密性。
摒弃非本质的属性，突出事物的本质特征。改编1、2圆心动，半径不动；改编3圆心动，半径动。相似、三角函数、勾股、等积都能解决，真正跳出题海、举一反三、轻负高效。让数学教学“果熟蒂落”。
4.反思体会
从数学新课程标准中得出：学习的最高层次是学会创新，锻炼思维，因此教师应当着重关注学生高阶思维的启蒙和培育，为学生的深度学习打下基础，笔者在原型题的基础上，深刻了解学生的知识储备，设置由静到动、由浅入深、由易到难的一系列螺旋问题。学生的思维得到有效开发，变得善于提炼问题中的基本图形，最终达到做一题，晓一片，熟一类题的解题境界。但同时也在反省，是否能让学生自己来改编题目，批判地学习新知识和新思想，但鉴于课堂的时间性和学生改编题目的难度性多方面考量，并未采取这种方式，也不乏是件憾事。
参考文献：
[1]“数学深度教学”的理论与实践[J].数学教育学报，2019，28（5）：24-32.
[2]张菊萍.初中几何说题教学[J].中学教学参考（上旬），2011,88：72.
[3]曹益军.浙教版初中数学几何例习题有效改编的探究[J].文化创新比较研究，2018，5：193-196.