曾翰举1 许秀亮2
1.福建省三明第一中学 福建三明 365000 2.福州第二中学 福建福州 350000
摘要：本文主要通过对人口模型的研究目标，人口模型的基本假设，考虑变化量和状态量之间的关系建立数学模型，建立模型需要考虑单位和量纲。研究人口模型的目的是为了通过人口模型来说明数学建模的必要步骤，还有这些步骤当中所需要注意的点，包括数学建模当中的基本方法，定量方法，定性方法。本文利用人口模型来给大家介绍数学建模的两个基本过程。
关键词：数学建模；基本假设；模型建立；人口模型
1.人口模型的研究目标
首先人口模型的研究目标是什么？
(1)人口数量的变化规律，到底是先快后慢的增长，还是先慢后快的增长，什么时候会减少等等。这样的规律就是我们要研究的。
(2)人口数的极限，以及到达这个极限后的行为，是会继续增长还是会这个回落下来？
(3)我们希望通过这个人口模型可以挖掘一些历史事件。历史往往是任人打扮的小姑娘，所以有很多历史事件可能没有记录，但是我们可以通过历史当中的一些数据，通过数据分析，做到窥视一些历史当中的隐藏事件。
2.建立模型
我们为了建立模型，首先要研究这个模型的基本假设，以及这个模型的符号约定。
首先我们假设人口数随时间的变化函数是一个连续函数，并且是可导函数。有人可能会有疑问，即人口数怎么可能是随时间连续变化的呢？其实这一点是合理的，因为我们研究人口数一般情况下不会研究一个家庭当中人口数，因为它相对于某家庭的人口总数变化的幅度太大了，有可能某家族只有10个人或者20个人，而增一个人或减一个人，对某家庭的变化率来说是特别大的。但是我们相对于一个地区或者一个国家或者一个大洲来说，它的人口数最至少是以万人为单位，所以单个人的增长或减少相对于万人的单位近视小数点后四位，我们研究的时候，精度不需要达到个人或达到百人或达到千人，实际上我们精度达到万人精度已经很高了，所以说我们认为单个人的离散变化相对于我们最后需要的精度来说，是可以忽略不计的，所以我们可以认为人口数，人口数损时间是连续变化的。
可能还有同学会认为，一个连续的函数，它也不一定可导。注意可导函数一定连续，连续函数未必可导是导数基本原理。那为什么我们假设模型时认为这个连续函数是可导的？因为我们假设某函数连续但不可导，比如说它是如下图4.1这样的一个连续函数，但是在处有间断点，它不可导，怎么办呢？
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其实我们在实际数据抽样中，若遇见连续不可导函数，我们可以用可导函数去修饰，去逼近它。如我们可以在图4.2的x0处切一个小弧，这样就可以以任意精度去逼近这个连续函数，使它可以光滑的过渡过来，然后再过去光滑的过渡过去，所以我们完全可以去假设人口数随时间变化，不仅是连续函数，而且还是可导函数。
再我们假设人口增长仅和生育率还有死亡率相关。即人口现在的数量越多，人口数上升的速度就越快，同样死亡的速度越快，然后出生的人数减去减去死亡的人数，就是人口净增长人数。
有了基本假设我们就要做相应的符号约定。
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3.模型检验
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这个想法是对的，那么哪里出了问题呢？这个基本推导没有问题，那其实就是基本假设出问题了。基本假设第一条我们解释过，基本没什么问题，那肯定就是第二条错了，那第二条哪里错了呢？我们假设人口增长“仅”和生育率还有死亡率相关，说的太草率，实际上我们去考虑把地球想象成一个培养品，如果做过生物实验，你会记得，当你在一个培养品当中放一些营养液，然后往里面滴进一些细菌，让这些细菌生长，其实它不是一个无限增长的过程。它是受它的培养皿当中的资源限制，所以我们一样的不能够认为人口增长仅和生育率和死亡率有关。
那还和什么有关呢？还受资源总量一个限制，所以我们也要在符号当中和模型当中体现出资源总量的限制。所以我们设资源所允许的人口数量有一个上限是M，这个M其实就反映了资源所能承受的一个人口数量，换句话说就反映了资源的限制。
那我们下面就根据我们修改后的这个基本假设，还有符号约定，来修正我们的模型。
4.模型修正
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5.总结
本文主要通过人口模型的基本假设符合约定，还有模型的建立来让大家理解数学建模的基本过程。让大家去关注模型的研究目标，其次，模型的基本假设既要考虑现实的合理性，又要考虑数学上的可计算性。就比如说我们把P(t)这个函数把它视为连续函数，并且把它视为可导函数，就是为了方便我们后面建立微分方程的模型，以及后面的求解。再有，我们是如何建立模型的？是通过考虑变化量，还有状态量之间的关系来建立的数学模型。这也是很多模型建立的时候，所参考的一个技巧和方法。再有，我们在建立模型的时候，需要考虑的单位还有量纲，以免这个方程的左右是不配平的。最后，既然这是个数学模型，它肯定不是一个一蹴而就的过程，而是需要反复思量和修订的，建模其实很好建，你胡乱建一个模型总是可以的，但是他不见得能够符合实际的需要，这个时候，我们就需要回过头来看，到底是你数学推导错了，还是你的笔误，还是说基本假设错了。哪里有错改哪里，这样往往一个模型在不断的修改当中就会不断的更加完善。
当然我们后面还会对人口模型和这个现实数据进行一个对比，来看他是不是真的能够符合实际。模型的精进是没有止境的，就是一个模型总能够变的更符合更符合更符合，因为现实的因素是无穷无尽的。
参考文献：
[1]李虎.中学数学建模案例分析——以人口模型为例.福建中学数学,2020(4)：43-46.
[2]王勇.Logistic人口模型的求解问题.哈尔滨商业大学学报(自然科学版),2006,(5).58-59.
[3]任运平,杨建雅.LOGISTIC人口模型的改进[J].河东学刊,1999,(6).23-24.
注：本文系福州市教育科学研究“十三五”规划2020年度课题立项《数学建模在高中课堂教学中的实践》立项编号：FZ2020GH003研究成果