数学运算核心素养评价促进教学改进案例
石栋伟 张海燕 曹炼忠
湖北省当阳市第二高级中学
一、问题提出
1.评价载体
当阳二高高三学生周考所用高考模拟卷二中的数列相关题目
（模拟卷13题）已知等比数列的前n项和为，且，则= .
（模拟卷17题）已知为各项为正数的数列的前n项和，
（1）求数列的通项公式
（2）若的前n项的和，求
2.评价意图
上述两个题目主要考查了数列中两类问题：求数列通项和数列求和，要求学生能利用数列基础概念、数列通项公式、求和公式以及数列求和方法来解决问题，主要针对的是对于学生在数学运算核心素养方面的考查.
3.评价的结果
针对以上数列相关题目，在考试结束后，对全班参加测验的38名学生进行数据统计，统计结果如表1所示：
题目
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通过上表，我们可以看到13题的答对人数明显高于17题，错误率明显低于17题.出现这种结果的原因，一方面是由于13题的信息量比较少，题干中直接给出数列是等比数列，题目相对更加简单易懂；另一方面则是由于13题在数学运算方面的技巧性和复杂性均低于17题，对于学生数学运算素养的考查更加简单.这两方面的原因就导致了学生在13题上的准确率更高.
除此之外，为了消除因17题的调查样本数据较少所可能带来的实验结果误差，我们还对全年级的17题得分率进行了统计，发现年纪得分率仅有4.5%，这也说明了本校大多数学生在对17题的处理中存在问题.
因此，为了更好地去发现学生在17题中存在的问题，我们对本班38名学生17题的得分情况进行了统计，如表2所示：
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（表2）
同时将以上数据整理，得到图1：
（
通过上图我们可以看到，在17题中得满分（10分）的人数是最多的，有10人，得8-9分的人数是最少的，有3人.这两个分数段都属于本题的高分段.但从总体上看，得8-10分的人数加一起有12人，大约只占总人数的三分之一.再结合本题的1、2小问的赋分情况来看，第一问总分5分，第二问总分7分.可以看出大多数学生只能做出第一问，只有极少数的学生能尝试着做第二问.
为了验证这个分析结果，我们对试卷进一步分析，发现第1问有18人答对，第2问，20人无法动笔.之所以出现这个原因，一方面是因为大多数学生对基本概念，公式，法则得理解不透或者根本没有记住，也就是对最基础的定义与公式运算都是一知半解.
另一方面，学生在日常的学习中对知识点的归纳不是很详尽，未形成模型化的解题策略，无法完成稍微复杂一点的分析与综合运算.那就更不用说让学生去完成复杂度更好的构造与建模运算了.
最终就会出现虽然老师针对同一题型反复讲，但学生还是停留在模仿的层面上的结果.而一旦题型出现变化，很多学生就无从下手.归根结底老师讲的多，给学生消化的时间少.
二、改进措施
针对得分很糟糕的现象首先对数列这部分知识的掌握采取以下措施：
1.旧题精讲，新题多变
分发答题卡，出示正确的解答过程，学生先对着答案找出自己的解决问题失误在哪里，同时也要求学生在第二轮资料中找到相似的题目进行对比归纳出类似题目的解题的套路.评讲试卷时让学生先进行交流，并展示对之间的关系求的方法：
第一步：，两式相减得到
第二步：用因式分解的方法将高次递推公式变成低次的递推公式：即
第三步：按照等差数列求通项公式的方法得到.
同时，为了让学生不被套路局限自己的思维，教师出示变式题：，给足时间让同学们的尝试.在尝试的过程中.学生会发现一般的套路行不通.此时，教师向学生解释该题变成的关系先求，再利用求.
通过这样引导探究式的教学，教师可以让课堂教学的节奏一波三折，也使得学生上课的情绪比较兴奋.另外，通过学生自己发现问题的易错点和难点，也让学生对于这方面的知识印象更加深刻，最终达到学生在以后的考试中出现这类错误频率明显减少的目的.
另一方面，对于通项公式为的求和，教师设计下列提问：
①求和有哪些方法？分别在什么情况下应用？
生：累加法（数列的项很少时）；公式法（等差数列和等比数列的求和）；裂项相消法（分式型分母是两个模型相似的式子相乘，分子可以用下面的两个式子相减的倍数表示.）；错位相减法（通项公式是等差数列的通项公式乘以等比数列的通项公式型）；分组求和法（通项公式是等差数列与等比数列相加或相减）
②它是我们总结的类型吗？
生：不是
③哪怎么办？
生：只能累加去求.
④下面请同学们按照累加的方法多写几项试试看？
学生在老师的提示下有同学就发现正负分组做，有同学发现每连着两项放在一起构成等差数列就能算下去.最后教师出示正确答案：.
以上问答环节主要说明：教师在选题上要做到充分，要在看是形式一样，但做法上也会不同.它实际是标准的等比数列的通项公式模型，它其实上不需要用并项求和法，只需要使用常规的求和公式解决即可.
总而言之，为了能够让学生在高考中把会做题尽可能不出错，老师要舍得用时间讲透知识点，让学生搞清楚每一个知识点之间的关联，弄明白每一种解题方法的使用对象与使用范围，同时要在平常的设计练习上中谋求变化，体现数学思维的灵活性，要通过设计问题让学生主动积极参与学习，进而提高他们的数学核心素养.
2.善于总结，专题突破
学校要求每一位老师上一节公开课，作为试验老师的我又选了几个数列的高考题上了一节数列的专题课.主要目的是：见识数列高考题，强化数列的运算，要在简洁，规范，思维严谨上提出更高的要求.方式是：以学生展示，学生质疑对抗为主，老师归纳点拨为辅.下面题目是公开课的选题；
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，
若成等差数列，求
设双曲线，求
这一组高考题得特点：1.知识点是我们熟悉的数列三类问题即求通项，求和，证数列，但也会和其他章节的知识点：指数，对数，解析几何等建立联系，体现在知识交叉处出题，从而考查学生综合应用知识的能力.方法是基本量表示，通过解方程（方程组）达到解决问题.2.高考题也体现考查不同的人学不同的数学，也能看出学生在学习数学上思维品质，有人会用最直接的最笨的基本量来计算，有人会在计算中使用符号之间的关系把复杂的符号计算转化简单的来运算.比如：第一题第二问求，并判断是否成等差数列，看是证明题实际是计算题，然而在运算时37人选择下面的计算过程：
其中计算用了很多时间，还有一部分同学根本就没算，用式子表示符号直接就写出结果.有一个同学想到：
后面的同学就用到计算的符号先用简单的符号表示要运算的式子，最终根本就不需要代式子进行运算.同样第（5）题的符号可以变形为，最后再代式子写出结果.
三、改进成效
在经过以上两次改进措施之后，我们对四月会考中本班在数列题的得分情况进行了统计.这次测验本班共38人参加了考试，班级平均分为9.5分，具体的得分统计如表3所示：
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同时将本次四月会考数列题目的得分数据与上次高考模拟卷二中的17题得分数据进行整理，得到下面的图2；
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（图2）
通过上图我们可以看到本班在四月会考数列题目中高分段（10分）的人数明显高于高考模拟卷二数列题目中高分段的人数.除此之外，四月会考数列题目低分段（低于6分）的人数清零.这些数据在极大的程度上说明了，通过这两个改进措施，本班学生在应对数列问题上相比以前都有了一个极大的提升.
而联系题目分值进一步分析，数列大题第一问5分，在这次四月会考中，本班学生在本题中基本上都考了5分以上的结果，这可以表面本班学生对于数列大题第一问的处理还是比较成功的.这也反映了通过之前的几次改进措施，在本次测验中，学生在数列中数学运算的基本素养—定义与公式的运算较之前有一个较大的进步.
其次，高分段的学生相比之间增长了3倍多，这个测试结果也说明了本班90%以上的学生基本掌握了数列问题正确的求解思路和方法，也就是基本都达到了数学运算素养的水平二—分析与综合运算.
当然，由于实验结果的误差性，仅通过一个数列题目还不足以能够直接说明本班学生在数列问题上的数学核心素养已经完成达标.因此，为了进一步验证并加强学生真实的数学运算核心素养能力，我们在日常的测验中又做了下面的有关数列的问题.
1.已知各项均为正数的数列满足，下列说法正确的是
A.数列的通项公式
B.数列是等比数列
C.记数列的前n项和为，则
D数列是等比数列
本题得分情况如表4所示：
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本题满分5分，总共34人参加测验.通过表格的数据我们可以看出有一半的同学在本题中做的全对，另一半的同学在本题中对而不全.
2.已知数列的首项为1，当时，其前n项和满足
（1）求（2）设，为前n项和，求满足的n的最小值
本题的得分情况如表5所示：
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本题满分12分，班上38人参加考试，20人做全对.
3.将个数排成n行n列的一个数阵，如下图所示的数阵中，第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m公比的等比数列（m>0),已知，记这个数的和为S，下列结论正确的是（ ）
A：m=3 B.
本题的得分情况如表6所示：
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本题满分5分，班上38人参加测验.20人全部选对，10人选AC得2分，8人选A得2分.
4.在①②③这三个条件中，任选两个条件补充中下列问题中，并给出解答：已知数列的前n项和为，满足 ，正项等差数列满足成等比数列
（1）求，通项公式
（2）证明
本题的得分情况如表7所示：
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（表7）
本题满分10分，38人参加测验，测验结果为35人得全分，3人扣了一点过程分.
将以上四个数列题目中的得分情况进行数据整理得到图3、图4和图5：
（
图3主要反映的是这四道数列题目中得满分的人数变化，通过图像我们可以看到得满分的人数基本上是越来越多，而且每次满分人数占比都在班级人数的半数及以上，其中第4道数列题目得满分的人数更是达到了35人，占比92%.这反映了在经过数列问题的改进措施后我们有越来越多的学生对于此问题有了一个进一步的认识.
图4主要反映是上面两道数列多选题的得分情况，通过图4我们可以看到多选题中得满分的人数和得半分的人数基本持平，各占50%，无人得零分.出现这种结果的原因在笔者看来主要有两个方面：一是对于数列知识的掌握还不够扎实，数列运算的探究还不够深入；二是对自己的数列运算能力还不够自信，有些学生觉得与其选多个不确定的答案从而导致可能会得零分，还不如选一个确定的答案拿到半分.
图5主要反映的是两道数列解答题的得分情况，通过图5我们可以见到两道解答题中得满分的人数均超过50%.不过第二道解答的完成情况明显比第一道题的好，无论是满分人数还是均分均高于第一道题.进一步对试卷进行分析，我们发现第一道题目中对而不全的9人没有考虑变形得公式里隐含条件，直接把当成了首项，虽然不影响答案，但逻辑上有问题，从而被扣分，另外剩下9位同学想把条件变成递推公式的形式没有变成就没做.第二道题中没有得到满分的3名学生则主要是解题过程上的叙述不够完整导致被扣分.另外，从客观上来看，第一道题目的解题难度上相较于第二题更难，这也导致了更多的学生在第二题上失分.
综上所述，上面这些数据反映了在经过这些改进措施后，越来越多的学生对数列问题的基本概念公式相较于以前都有了一个更深的理解，同时在面对一些基本常规的数列运算问题时，比如说：数列递推公式的应用、裂项相消求和法等等问题，开始逐步形成了一套标准规范的运算思路与方法体系，并能运用这些运算方法帮助他们解决实际的数列问题.但在面对一些较为复杂的数列问题情景时，有少数学生就开始踌躇不前，不知道从哪里开始分析，更不知道如何去进行数学运算，还有部分学生容易顾此失彼，不能将完整的运算过程清晰地呈现在答题卡上.针对这些数学运算核心素养层次不高的学生，在以后的训练中，还要进一步加强他们对这些复杂问题的训练，通过不断地强化训练来提高他们的自信与数学运算核心素养水平。