张海波
武警工程大学基础部高等数学教研室
摘要：概率论与数理统计的研究对象是随机现象，是研究随机现象统计规律性的数学学科，是高等院校各理工科专业甚至人文社科类专业的一门重要的基础理论课。对于初学者，经常会碰到一些新颖的、难以理解的概念。在人类所认知的思维体系中，概念是最基本的构筑单位；同时，概念也是数学课程中最基本的内容，对概念的理解程度直接影响着学生对该课程的学习和掌握。对于新概念边缘分布的教学，本文基于已有概念即联合分布，通过问题驱动即提出问题、分析问题、解决问题的途径，最终引出新概念的定义。
关键词：概率论与数理统计； 概念； 边缘分布； 问题驱动
前言
教学实践表明，对于边缘分布，在教师授课的时候，普遍都是直接给出，缺乏思维上的启发性以及与前后概念之间的关联性，不能形成一个有机的、整体的教学系统；在学生学习的时候，往往也都感觉难度较大，无法理解，不知道概念要表达怎样的想法。即使我们给出大量求解二维随机变量三大边缘分布(即边缘分布函数、边缘分布律和边缘概率密度函数) 详细且具体的操作步骤，清晰地说明了对哪个变量分情况进行讨论，对哪个变量进行积分，对于积分又如何确定其上下积分限，但学生也只是照葫芦画瓢，题目意思稍作变化，学生便理解不了，不能灵活处理，无法学以致用。究其根源，还是对概念理解不够深刻，对各中概念之间的关系混淆不清，知其然不知其所以然，所以无法活学活用、举一反三。而边缘分布又是讨论多维随机变量十分重要的概念，随机变量条件分布、联合分布的求解及随机变量独立性、相关性的判定等问题都需要先求出边缘分布，所以边缘分布的教学非常重要。这就需要教师精心设计，启发并引导学生搞清楚概念的来龙去脉，理解概念，并能够熟练应用概念。为此，本文基于已有概念即联合分布，通过问题驱动的方式，给出边缘分布概念的形成过程，这不仅可以巩固对旧概念的理解，同时对新概念的认识也会有事半功倍之效。
一、复习引入及核心问题
1.复习引入
在研究更为复杂的随机现象的过程中，一开始我们主要考虑将多个随机变量作为一个整体，比如：随机变量作为一个整体即二维随机变量，来讨论其联合分布；具体而言，我们从一般到特殊，考虑了任一二维随机变量的联合分布函数，二维离散型随机变量的联合分布律以及二维连续型随机变量的联合概率密度函数，这些联合分布都全面地刻画了二维随机变量的统计规律性。现在反过来考虑，如果我们知道了二维随机变量的联合分布，那么单独地看，和也都是随机变量，也应当有各自的分布。
2.核心问题
如果我们已知二维随机变量的联合分布，那么能否由其得到随机变量X和Y各自的分布？如果能，具体又应当如何通过二维随机变量的联合分布来确定随机变量和各自的分布？
我们仍然按照从一般到特殊的方式，分成如下三个方面具体来讨论。
二、二维随机变量边缘分布函数
1.提出问题
已知二维随机变量的联合分布函数，如何确定各自的分布函数与？
2.分析问题
因为是必然事件即，故对任意事件，恒有，所以
。
也就是说，通过对二维随机变量的联合分布函数求关于某个变量趋于的极限即得关于另一个变量对应的随机变量的分布函数。比如上述，按照这种方式也就是便可得到随机变量的分布函数，即通过在二维随机变量的联合分布函数中固定让趋于，从几何图形上看为平面区域平行轴的边界曲线，因此我们将这种形象且直观的计算方式称为 二维随机变量关于的边缘分布函数。
下面严格地，我们以定义的形式给出，即：
3.解决问题
定义1：设为随机变量的联合分布函数，即，记，并称其为二维随机变量关于的边缘分布函数；即，就是说，只要在的联合分布函数中固定令就能得到的分布函数。
同理，记，并称其为二维随机变量关于的边缘分布函数；即，就是说，只要在的联合分布函数中固定令就能得到的分布函数。
说明1：在更为复杂的多维随机变量下，对各个随机变量的分布函数还可通过多维随机变量与之对应的边缘分布函数求解，即只要在多元联合分布函数中固定该对应变量让其余变量全部趋于正无穷求累次极限即可。
三、二维离散型随机变量边缘分布律
1.提出问题
已知二维离散型随机变量的联合分布律，如何确定各自的分布律与？
2.分析问题
因为事件对不同彼此互斥，且，故对任意事件，恒有，所以。
也就是说，通过对二维离散型随机变量的联合分布律关于某个变量全部求和(级数和)即得关于另一个变量对应的随机变量的分布律。比如上述，按照这种方式也就是便可得到随机变量的分布律，即通过在二维离散型随机变量的联合分布律中固定对全部求和(级数和)，从几何表格上看为的联合分布律二维表格在右边再增加一列由水平行数量和绘制的一列正好就是的分布律，其位置正好在的联合分布律二维表格的边上，因此我们将这种形象且直观的计算方式称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律。下面严格地，我们以定义的形式给出，即：
3.解决问题
定义2：对于二维离散型随机变量，设其联合分布律为，记，并称其为二维离散型随机变量关于的边缘分布律；即，就是说，只要在的联合分布律中固定对全部求和(级数和)就能得到的分布律。
同理，记，并称其为二维离散型随机变量关于的边缘分布律；即，就是说，只要在的联合分布律中固定对全部求和(级数和)就能得到的分布律。
说明2：在更为复杂的多维离散型随机变量下，对各个离散型随机变量的分布律还可通过多维离散型随机变量与之对应的边缘分布律求解，即只要在多元联合分布律中固定该对应变量对其余变量全部求和求累次级数和即可。
四、二维连续型随机变量边缘概率密度函数
1.提出问题
已知二维连续型随机变量的联合概率密度函数，如何确定各自的概率密度函数与？
2.分析问题
①由联合概率密度函数定义即有；
②由上述定义1即有。
由此可见，随机变量也是一个连续型随机变量，且其概率密度函数为。
也就是说，通过对二维连续型随机变量的联合概率密度函数关于某个变量从到积分即得关于另一个变量对应的随机变量的概率密度函数。比如上述，按照这种方式即通过在二维连续型随机变量的联合概率密度函数中固定关于从到积分即得的概率密度函数，类似地我们将的这种计算方式称为二维连续型随机变量关于的边缘概率密度函数。下面严格地，我们以定义的形式给出，即：
3.解决问题
定义3：对于二维连续型随机变量，设其联合概率密度函数为，称为二维连续型随机变量关于的边缘概率密度函数；即，就是说，只要在的联合概率密度函数中固定对在整个实数域上积分就能得到的概率密度函数。
同理，称为二维连续型随机变量关于的边缘概率密度函数；即，就是说，只要在的联合概率密度函数中固定对在整个实数域上积分就能得到的概率密度函数。
说明3：在更为复杂的多维连续型随机变量下，对各个连续型随机变量的概率密度函数还可通过多维连续型随机变量与之对应的边缘概率密度函数求解，即只要在多元联合概率密度函数中固定该对应变量对其余变量全部积分求累次积分即可。
五、小结
基于联合分布的基础上讨论边缘分布，并就一般随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量通过提出问题、发现问题以及解决问题的方式引出各类边缘分布的定义，使学生对边缘分布的概念有了更加生动与理性的认识。教学实践表明，只有对概念深入理解的基础上，才能够理解实际问题中我们为什么要讨论边缘分布；同时，也能够快速地掌握边缘分布计算方法，比如在求解二维随机变量的边缘概率密度函数时，对哪个变量要分情况进行讨论，对哪个变量要进行积分，对于积分又如何确定上下积分限，每一步的操作也就都很顺理成章，自然合理，而不仅仅只是机械地操作，照葫芦画瓢。
参考文献
[1]盛骤,谢式千,潘承毅. 概率论与数理统计[M]. 北京:高等教育出版社. 2008
[2]郭明乐,黄旭东. 概率论与数理统计[M]. 合肥:中国科学技术大学出版社. 2011