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浅谈高中数学教学中导数求参中的渐近线问题

发表时间：2021/9/15 来源：《课程教材教法》2021年6月作者：李芳

[导读] 导数综合问题中的求参数范围，我们常规思路是变量参数分离后，转化为函数求最值（值域），求交点个数等问题，接下来就是借助导数研究新函数的图象，通过数形结合来解题，而导数综合问题中新函数的图象往往涉及渐近线。

藤县中学李芳 543300

摘要：导数综合问题中的求参数范围，我们常规思路是变量参数分离后，转化为函数求最值（值域），求交点个数等问题，接下来就是借助导数研究新函数的图象，通过数形结合来解题，而导数综合问题中新函数的图象往往涉及渐近线。下面我们就通过几个题目来体会其应用。
关键词：高中数学；导数求参；渐近线
        一、含指数分式型
        1.（某市2014—2015学年第二学期高三质量检测第16题）
        已知函数f（x）=ex+ax2，下列命题：
        （1）对于任意a∈（0，+∞），都有f（x）>0恒成立；
        （2）对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）存在最小值；
        （3）存在a∈（-∞，0），使函数f（x）有三个零点；
        （4）存在a∈（-∞，0），函数f（x）有减区间。
        其中正确命题的序号是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（写出所有正确命题的序号）
        分析：本题我们分析选项（3），选项（3）就是考查函数图象交点个数的问题，这类问题首选数形结合。

        （1）求函数f（x）的单调区间；
        （2）若函数g（x）的图象与f（x）的图象有两个交点，求实数a的取值范围。
        分析：本题（2）和第1题一样都是考查函数图象交点个数的问题，因此解题方法一致，区别在于作图时，题1要考虑指数函数的有界性，而本题需考虑对数函数值域正负的分界线，即对数函数的渐近线。

鉴于以上分析，在学习函数的过程中，老师若能经常性地引导学生根据函数的各种性质（特别是渐近线）描画函数的草图，这对于学生迅速找到解决问题的入口，形成解决函数问题的大局观、层次感和养成良好的思维习惯大有裨益。
参考文献：
[1]刘洪志.“不得不说”的函数性质：例说利用函数的渐近线处理一类分式函数问题[J].中学数学（高中版），2014（8）:83-85.